Номер 658, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 658, страница 202.

Условие.

658 Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \\ \frac{1}{x} + \frac{3}{y} = 7 \end{cases}$;

б) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{3}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 1 \end{cases}$;

в) $\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\ \frac{4}{x} - \frac{4}{y} = 4 \end{cases}$;

г) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 10 \\ \frac{1}{2x} - \frac{1}{2y} = 1 \end{cases}$.

Указание. Введите замену: $\frac{1}{x} = a, \frac{1}{y} = b$. Решив систему с переменными $a$ и $b$, найдите $x$ и $y$ из равенств $x = \frac{1}{a}, y = \frac{1}{b}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \\ \frac{1}{x} + \frac{3}{y} = 7 \end{cases} $
Следуя указанию, вводим замену переменных: пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$.
После замены система принимает вид:
$ \begin{cases} a + b = 2 \\ a + 3b = 7 \end{cases} $
Это система линейных уравнений. Для её решения вычтем первое уравнение из второго:
$(a + 3b) - (a + b) = 7 - 2$
$a + 3b - a - b = 5$
$2b = 5$
$b = \frac{5}{2} = 2.5$
Теперь подставим найденное значение $b$ в первое уравнение ($a + b = 2$):
$a + 2.5 = 2$
$a = 2 - 2.5 = -0.5$
Мы нашли значения $a$ и $b$. Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:
$x = \frac{1}{a} = \frac{1}{-0.5} = -2$
$y = \frac{1}{b} = \frac{1}{2.5} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5} = 0.4$
Ответ: $x = -2, y = 0.4$.

б) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{3}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 1 \end{cases} $
Вводим замену: $a = \frac{1}{x}$, $b = \frac{1}{y}$.
Система для новых переменных:
$ \begin{cases} a - 3b = 1 \\ 3a - b = 1 \end{cases} $
Решим эту систему. Умножим первое уравнение на -3:
$-3(a - 3b) = -3 \cdot 1 \implies -3a + 9b = -3$
Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(-3a + 9b) + (3a - b) = -3 + 1$
$8b = -2$
$b = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$
Подставим значение $b$ в первое уравнение исходной системы для $a$ и $b$ ($a - 3b = 1$):
$a - 3(-\frac{1}{4}) = 1$
$a + \frac{3}{4} = 1$
$a = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
Выполним обратную замену:
$x = \frac{1}{a} = \frac{1}{1/4} = 4$
$y = \frac{1}{b} = \frac{1}{-1/4} = -4$
Ответ: $x = 4, y = -4$.

в) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\ \frac{4}{x} - \frac{4}{y} = 4 \end{cases} $
Вводим замену: $a = \frac{1}{x}$, $b = \frac{1}{y}$.
Система для новых переменных:
$ \begin{cases} 2a + b = 5 \\ 4a - 4b = 4 \end{cases} $
Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 4:
$a - b = 1$
Теперь решаем более простую систему:
$ \begin{cases} 2a + b = 5 \\ a - b = 1 \end{cases} $
Сложим два уравнения, чтобы исключить $b$:
$(2a + b) + (a - b) = 5 + 1$
$3a = 6$
$a = 2$
Подставим найденное значение $a$ в уравнение $a - b = 1$:
$2 - b = 1$
$b = 2 - 1 = 1$
Выполним обратную замену:
$x = \frac{1}{a} = \frac{1}{2}$
$y = \frac{1}{b} = \frac{1}{1} = 1$
Ответ: $x = \frac{1}{2}, y = 1$.

г) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 10 \\ \frac{1}{2x} - \frac{1}{2y} = 1 \end{cases} $
Вводим замену: $a = \frac{1}{x}$, $b = \frac{1}{y}$.
Система для новых переменных:
$ \begin{cases} a + b = 10 \\ \frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b = 1 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:
$2(\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b) = 2 \cdot 1 \implies a - b = 2$
Получаем систему:
$ \begin{cases} a + b = 10 \\ a - b = 2 \end{cases} $
Сложим два уравнения:
$(a + b) + (a - b) = 10 + 2$
$2a = 12$
$a = 6$
Подставим значение $a$ в первое уравнение ($a + b = 10$):
$6 + b = 10$
$b = 10 - 6 = 4$
Выполним обратную замену:
$x = \frac{1}{a} = \frac{1}{6}$
$y = \frac{1}{b} = \frac{1}{4}$
Ответ: $x = \frac{1}{6}, y = \frac{1}{4}$.