Номер 653, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 653, страница 201.

Условие.

Применяем алгебру (653–655)

653 Определите координаты точки пересечения данных прямых и укажите, в какой координатной четверти она находится:

а) $y = -8x + 27$ и $y = 5x - 25$;

б) $y = 3x - 19$ и $y = x + 2;

в) $2x - y = 6$ и $12x - 5y = 3;

г) $y + 4x = 0$ и $y = \frac{3}{2}x + 33.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых $y = -8x + 27$ и $y = 5x - 25$, нужно решить систему этих уравнений. Так как в обоих уравнениях выражена переменная $y$, приравняем их правые части:

$-8x + 27 = 5x - 25$

Соберем слагаемые с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$27 + 25 = 5x + 8x$

$52 = 13x$

$x = \frac{52}{13} = 4$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Используем второе уравнение:

$y = 5(4) - 25 = 20 - 25 = -5$

Координаты точки пересечения: $(4; -5)$. Поскольку абсцисса $x = 4$ положительна, а ордината $y = -5$ отрицательна, точка находится в IV координатной четверти.

Ответ: $(4; -5)$, IV четверть.

б) Для прямых $y = 3x - 19$ и $y = x + 2$ также приравняем правые части уравнений:

$3x - 19 = x + 2$

Решим уравнение относительно $x$:

$3x - x = 2 + 19$

$2x = 21$

$x = \frac{21}{2} = 10.5$

Подставим значение $x$ во второе уравнение:

$y = 10.5 + 2 = 12.5$

Координаты точки пересечения: $(10.5; 12.5)$. Так как абсцисса $x = 10.5 > 0$ и ордината $y = 12.5 > 0$, точка находится в I координатной четверти.

Ответ: $(10.5; 12.5)$, I четверть.

в) Дана система уравнений:
1) $2x - y = 6$
2) $12x - 5y = 3$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 2x - 6$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$12x - 5(2x - 6) = 3$

$12x - 10x + 30 = 3$

$2x = 3 - 30$

$2x = -27$

$x = -\frac{27}{2} = -13.5$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 2x - 6$:

$y = 2(-13.5) - 6 = -27 - 6 = -33$

Координаты точки пересечения: $(-13.5; -33)$. Поскольку абсцисса $x = -13.5 < 0$ и ордината $y = -33 < 0$, точка находится в III координатной четверти.

Ответ: $(-13.5; -33)$, III четверть.

г) Дана система уравнений:
1) $y + 4x = 0$
2) $y = \frac{3}{2}x + 33$

Из первого уравнения выразим $y$:

$y = -4x$

Теперь приравняем правые части обоих уравнений:

$-4x = \frac{3}{2}x + 33$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$-8x = 3x + 66$

$-8x - 3x = 66$

$-11x = 66$

$x = \frac{66}{-11} = -6$

Подставим значение $x$ в уравнение $y = -4x$:

$y = -4(-6) = 24$

Координаты точки пересечения: $(-6; 24)$. Так как абсцисса $x = -6 < 0$, а ордината $y = 24 > 0$, точка находится во II координатной четверти.

Ответ: $(-6; 24)$, II четверть.