Номер 4, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 4, страница 200.

Условие.

В системе двух уравнений с двумя переменными одно уравнение линейное, а другое – уравнение окружности с центром в начале координат. Сколько решений может иметь такая система? Проиллюстрируйте свои рассуждения рисунками.

Решение 3.

Решение 4.

Рассмотрим систему из двух уравнений с двумя переменными $x$ и $y$.

Первое уравнение — линейное, его общий вид: $ax + by + c = 0$. Графиком этого уравнения является прямая линия.

Второе уравнение — уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r$. Его вид: $x^2 + y^2 = r^2$.

Решения системы уравнений — это точки $(x, y)$, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Геометрически это соответствует точкам пересечения прямой и окружности на координатной плоскости. Количество решений системы равно количеству точек пересечения.

Существует три возможных случая взаимного расположения прямой и окружности.

Случай 1: Система не имеет решений (0 решений)

Это происходит, когда прямая не пересекает окружность и не касается ее. То есть у них нет общих точек. Алгебраически это означает, что расстояние от центра окружности (точки $(0,0)$) до прямой больше, чем радиус окружности $r$.

Ответ: 0 решений.

Случай 2: Система имеет одно решение (1 решение)

Это происходит, когда прямая касается окружности ровно в одной точке. Такая прямая называется касательной к окружности. В этом случае расстояние от центра окружности до прямой равно ее радиусу $r$.

Ответ: 1 решение.

Случай 3: Система имеет два решения (2 решения)

Это происходит, когда прямая пересекает окружность в двух различных точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние от центра окружности до прямой меньше, чем ее радиус $r$.

Ответ: 2 решения.

Таким образом, система уравнений, состоящая из линейного уравнения и уравнения окружности с центром в начале координат, может иметь 0, 1 или 2 решения. Больше двух решений быть не может, так как прямая не может пересечь окружность более чем в двух точках.