Номер 1, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 1, страница 200.

Условие.

Из каких шагов состоит процесс решения системы способом подстановки? Обозначьте каждый из них в решении системы, рассмотренной во фрагменте 1.

Решение 3.

Решение 4.

Метод подстановки — это один из основных алгоритмических способов решения систем уравнений. Он заключается в последовательном выполнении нескольких шагов. Поскольку "фрагмент 1", упомянутый в вопросе, не предоставлен, мы разберем этот метод на примере следующей системы уравнений:

$$ \begin{cases} x - 2y = 3 \\ 3x + y = 13 \end{cases} $$

Шаг 1: Выразить одну переменную через другую.

На первом этапе необходимо выбрать одно из уравнений системы и выразить из него одну переменную через другую. Рекомендуется выбирать то уравнение и ту переменную, где коэффициент равен 1 или -1, так как это упрощает вычисления и помогает избежать появления дробей. В нашем примере удобнее всего выразить переменную $y$ из второго уравнения ($3x + y = 13$):

$$y = 13 - 3x$$

Также можно было выразить $x$ из первого уравнения: $x = 3 + 2y$. Результат будет тем же.

Шаг 2: Подставить полученное выражение в другое уравнение.

Теперь нужно подставить выражение, полученное на первом шаге ($y = 13 - 3x$), в другое уравнение системы. В нашем случае это первое уравнение ($x - 2y = 3$). Этот шаг является ключевым в методе, так как он позволяет перейти от системы с двумя переменными к одному уравнению с одной переменной.

$$x - 2(13 - 3x) = 3$$

Шаг 3: Решить полученное уравнение с одной переменной.

Уравнение, полученное на предыдущем шаге, содержит только одну переменную ($x$), и его необходимо решить, используя стандартные алгебраические преобразования. Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и найдем корень.

$$x - 26 + 6x = 3$$

$$7x - 26 = 3$$

$$7x = 29$$

$$x = \frac{29}{7}$$

(Для большей наглядности давайте вернемся и выберем другой путь, который приведет к целочисленному ответу, как это часто бывает в учебных задачах. Возьмем систему:$$\begin{cases}x - 2y = 3 \\5x + y = 4\end{cases}$$Шаг 1: Из второго уравнения $y = 4 - 5x$.Шаг 2: Подставляем в первое: $x - 2(4 - 5x) = 3$.Шаг 3: Решаем: $x - 8 + 10x = 3 \implies 11x = 11 \implies x = 1$. Этот пример лучше.)

Давайте воспользуемся более удачным примером для демонстрации. Пусть наша система будет:$$\begin{cases}x + 2y = 7 \\3x - y = 0\end{cases}$$Шаг 1: Из второго уравнения выражаем $y$: $y = 3x$.
Шаг 2: Подставляем в первое уравнение: $x + 2(3x) = 7$.
Шаг 3: Решаем полученное уравнение:$$x + 6x = 7$$$$7x = 7$$$$x = 1$$Мы нашли значение одной из переменных.

Шаг 4: Найти значение второй переменной.

После того как значение одной переменной найдено ($x = 1$), необходимо найти значение второй. Для этого нужно подставить найденное значение в выражение, полученное на первом шаге ($y = 3x$).

$$y = 3 \cdot 1$$

$$y = 3$$

Шаг 5: Записать ответ.

Решением системы является пара значений переменных $(x; y)$. Мы получили $x=1$ и $y=3$. Ответ записывается в виде упорядоченной пары чисел.

Решение нашей системы: $(1; 3)$.

Ответ: Процесс решения системы уравнений методом подстановки состоит из следующих шагов:

1. Выбрать одно из уравнений системы и выразить из него одну переменную через другую.
2. Подставить полученное на первом шаге выражение в другое (неиспользованное) уравнение системы.
3. Решить получившееся уравнение с одной переменной, найдя ее значение.
4. Подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге, и вычислить значение второй переменной.
5. Записать найденную пару значений переменных в качестве ответа.