Номер 642, страница 196 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 642, страница 196.

Условие.

642 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ Объясните, почему данная система не имеет решений или имеет бесчисленное множество решений (в этом случае приведите примеры решений системы):

а) $\begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 1 \end{cases};$

б) $\begin{cases} x - 2y = 4 \\ x - 2y = 0 \end{cases};$

в) $\begin{cases} y - x = 5 \\ 2y - 2x = 10 \end{cases};$

г) $\begin{cases} 3x + y = 1 \\ 6x + 2y = 12 \end{cases};$

д) $\begin{cases} x - 3y = 6 \\ 3x - 9y = -9 \end{cases};$

е) $\begin{cases} 4x + 2y = 2 \\ x + 0,5y = 0,5 \end{cases}.$

В каждом случае проиллюстрируйте ваш вывод графически.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $ \begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 1 \end{cases} $

Данная система уравнений не имеет решений. Если вычесть из первого уравнения второе, мы получим: $(x+y) - (x+y) = 3 - 1$, что приводит к неверному равенству $0 = 2$. Это означает, что не существует таких значений $x$ и $y$, которые бы одновременно удовлетворяли обоим уравнениям.

Геометрически каждое из этих уравнений представляет собой прямую на координатной плоскости. Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$:
$y = -x + 3$ (угловой коэффициент $k = -1$, смещение $b = 3$)
$y = -x + 1$ (угловой коэффициент $k = -1$, смещение $b = 1$)
Так как угловые коэффициенты прямых равны, а смещения различны, эти прямые параллельны и никогда не пересекаются.

Графическая иллюстрация: Графики этих уравнений – две параллельные прямые, которые не имеют ни одной общей точки.

Ответ: система не имеет решений.

б) $ \begin{cases} x - 2y = 4 \\ x - 2y = 0 \end{cases} $

Система не имеет решений. Левые части уравнений идентичны, а правые — различны. Если бы существовало решение, то выражение $x - 2y$ должно было бы одновременно равняться и 4, и 0, что невозможно. Вычитание второго уравнения из первого дает противоречие: $(x - 2y) - (x - 2y) = 4 - 0$, или $0 = 4$.

Приведем уравнения к виду $y = kx + b$:
$x - 4 = 2y \Rightarrow y = \frac{1}{2}x - 2$ (угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$, смещение $b = -2$)
$x = 2y \Rightarrow y = \frac{1}{2}x$ (угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$, смещение $b = 0$)
Прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, но разные смещения, следовательно, они параллельны.

Графическая иллюстрация: Графики уравнений – это две параллельные прямые, которые не пересекаются.

Ответ: система не имеет решений.

в) $ \begin{cases} y - x = 5 \\ 2y - 2x = 10 \end{cases} $

Данная система имеет бесчисленное множество решений. Если мы разделим второе уравнение на 2, мы получим: $(2y - 2x)/2 = 10/2$, что дает $y - x = 5$. Это уравнение в точности совпадает с первым. Таким образом, оба уравнения описывают одну и ту же зависимость между $x$ и $y$.

Геометрически оба уравнения представляют одну и ту же прямую. Выразим $y$ через $x$:
Из первого уравнения: $y = x + 5$.
Из второго уравнения: $2y = 2x + 10 \Rightarrow y = x + 5$.
Так как уравнения прямых полностью совпадают, они накладываются друг на друга, и любая точка этой прямой является решением системы.

Примеры решений: можно выбрать любое значение для $x$ и найти соответствующий $y$ по формуле $y = x + 5$.
- Если $x = 0$, то $y = 5$. Решение: $(0, 5)$.
- Если $x = 1$, то $y = 6$. Решение: $(1, 6)$.
- Если $x = -2$, то $y = 3$. Решение: $(-2, 3)$.

Графическая иллюстрация: Графики обоих уравнений – это одна и та же прямая, проходящая, например, через точки (0, 5) и (-5, 0).

Ответ: система имеет бесчисленное множество решений.

г) $ \begin{cases} 3x + y = 1 \\ 6x + 2y = 12 \end{cases} $

Система не имеет решений. Умножим первое уравнение на 2: $2(3x + y) = 2 \cdot 1 \Rightarrow 6x + 2y = 2$. Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 6x + 2y = 2 \\ 6x + 2y = 12 \end{cases} $. Левые части уравнений равны, а правые — нет, что является противоречием.

Приведем уравнения к виду $y = kx + b$:
$y = -3x + 1$ (угловой коэффициент $k = -3$, смещение $b = 1$)
$2y = -6x + 12 \Rightarrow y = -3x + 6$ (угловой коэффициент $k = -3$, смещение $b = 6$)
Угловые коэффициенты прямых равны, а смещения — нет. Следовательно, прямые параллельны.

Графическая иллюстрация: Графики уравнений являются двумя параллельными прямыми, которые не пересекаются.

Ответ: система не имеет решений.

д) $ \begin{cases} x - 3y = 6 \\ 3x - 9y = -9 \end{cases} $

Система не имеет решений. Умножим первое уравнение на 3: $3(x - 3y) = 3 \cdot 6 \Rightarrow 3x - 9y = 18$. Сравним его со вторым уравнением: $3x - 9y = -9$. Выражение $3x - 9y$ не может одновременно быть равно 18 и -9. Это противоречие.

Приведем уравнения к виду $y = kx + b$:
$x - 6 = 3y \Rightarrow y = \frac{1}{3}x - 2$ (угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$, смещение $b = -2$)
$3x + 9 = 9y \Rightarrow y = \frac{3}{9}x + \frac{9}{9} \Rightarrow y = \frac{1}{3}x + 1$ (угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$, смещение $b = 1$)
Прямые параллельны, так как их угловые коэффициенты равны, а смещения различны.

Графическая иллюстрация: Графики — две параллельные прямые, не имеющие общих точек.

Ответ: система не имеет решений.

е) $ \begin{cases} 4x + 2y = 2 \\ x + 0.5y = 0.5 \end{cases} $

Система имеет бесчисленное множество решений. Если мы умножим второе уравнение на 4, мы получим: $4(x + 0.5y) = 4 \cdot 0.5 \Rightarrow 4x + 2y = 2$. Полученное уравнение идентично первому уравнению системы. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же зависимость.

Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$:
$2y = -4x + 2 \Rightarrow y = -2x + 1$.
$0.5y = -x + 0.5 \Rightarrow y = -2x + 1$.
Уравнения описывают одну и ту же прямую, поэтому любая точка этой прямой является решением.

Примеры решений: можно выбрать любое значение для $x$ и найти $y$ из уравнения $y = -2x + 1$.
- Если $x = 0$, то $y = 1$. Решение: $(0, 1)$.
- Если $x = 1$, то $y = -1$. Решение: $(1, -1)$.
- Если $x = 0.5$, то $y = 0$. Решение: $(0.5, 0)$.

Графическая иллюстрация: Графики обоих уравнений совпадают, образуя одну прямую $y = -2x + 1$.

Ответ: система имеет бесчисленное множество решений.