Страница 196 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

640 а) $ \begin{cases} 3a + 5b = 4 \\ 2a - 3b = 9; \end{cases} $

В) $ \begin{cases} 6u - 7v = 6 \\ 7u - 8v = 15; \end{cases} $

Д) $ \begin{cases} 4y - 2z = 10 \\ 3y + 5z = 1; \end{cases} $

Б) $ \begin{cases} 2x + 3z = 6 \\ 3x + 5z = 8; \end{cases} $

Г) $ \begin{cases} 2m + 5n = 12 \\ 4m + 3n = 10; \end{cases} $

Е) $ \begin{cases} 8x - 3y = 22 \\ 3x + 4y = -2. \end{cases} $

а) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 3a + 5b = 4 \\ 2a - 3b = 9 \end{cases}$

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы коэффициенты при переменной $a$ стали противоположными:

$\begin{cases} (3a + 5b) \cdot 2 = 4 \cdot 2 \\ (2a - 3b) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) \end{cases} \implies \begin{cases} 6a + 10b = 8 \\ -6a + 9b = -27 \end{cases}$

Теперь сложим два новых уравнения почленно: $(6a + 10b) + (-6a + 9b) = 8 - 27$. Это дает $19b = -19$, откуда $b = -1$.

Подставим найденное значение $b = -1$ в первое уравнение исходной системы $3a + 5b = 4$: $3a + 5(-1) = 4$, что упрощается до $3a - 5 = 4$. Отсюда $3a = 9$ и $a = 3$.

Проверим решение, подставив $a=3$ и $b=-1$ во второе уравнение: $2(3) - 3(-1) = 6 + 3 = 9$. Равенство верно.

Ответ: $(3; -1)$

б) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 2x + 3z = 6 \\ 3x + 5z = 8 \end{cases}$

Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:

$\begin{cases} (2x + 3z) \cdot 3 = 6 \cdot 3 \\ (3x + 5z) \cdot (-2) = 8 \cdot (-2) \end{cases} \implies \begin{cases} 6x + 9z = 18 \\ -6x - 10z = -16 \end{cases}$

Сложим полученные уравнения: $(6x + 9z) + (-6x - 10z) = 18 - 16$. Получаем $-z = 2$, откуда $z = -2$.

Подставим $z = -2$ в первое исходное уравнение $2x + 3z = 6$: $2x + 3(-2) = 6$, что дает $2x - 6 = 6$. Отсюда $2x = 12$ и $x = 6$.

Проверка: подставим $x=6$ и $z=-2$ во второе уравнение: $3(6) + 5(-2) = 18 - 10 = 8$. Равенство верно.

Ответ: $(6; -2)$

в) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 6u - 7v = 6 \\ 7u - 8v = 15 \end{cases}$

Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 7, а второе на -6:

$\begin{cases} (6u - 7v) \cdot 7 = 6 \cdot 7 \\ (7u - 8v) \cdot (-6) = 15 \cdot (-6) \end{cases} \implies \begin{cases} 42u - 49v = 42 \\ -42u + 48v = -90 \end{cases}$

Сложим уравнения: $(42u - 49v) + (-42u + 48v) = 42 - 90$. Получаем $-v = -48$, откуда $v = 48$.

Подставим $v = 48$ в первое уравнение $6u - 7v = 6$: $6u - 7(48) = 6$, то есть $6u - 336 = 6$. Отсюда $6u = 342$ и $u = 57$.

Проверка: подставим $u=57$ и $v=48$ во второе уравнение: $7(57) - 8(48) = 399 - 384 = 15$. Равенство верно.

Ответ: $(57; 48)$

г) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 2m + 5n = 12 \\ 4m + 3n = 10 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $m$ стали противоположными, и применим метод сложения:

$\begin{cases} -2(2m + 5n) = -2 \cdot 12 \\ 4m + 3n = 10 \end{cases} \implies \begin{cases} -4m - 10n = -24 \\ 4m + 3n = 10 \end{cases}$

Сложим уравнения: $(-4m - 10n) + (4m + 3n) = -24 + 10$. Получаем $-7n = -14$, откуда $n = 2$.

Подставим $n = 2$ в первое исходное уравнение $2m + 5n = 12$: $2m + 5(2) = 12$, то есть $2m + 10 = 12$. Отсюда $2m = 2$ и $m = 1$.

Проверка: подставим $m=1$ и $n=2$ во второе уравнение: $4(1) + 3(2) = 4 + 6 = 10$. Равенство верно.

Ответ: $(1; 2)$

д) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 4y - 2z = 10 \\ 3y + 5z = 1 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2: $2y - z = 5$. Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 2y - z = 5 \\ 3y + 5z = 1 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из упрощенного первого уравнения выразим $z$: $z = 2y - 5$.

Подставим полученное выражение для $z$ во второе уравнение: $3y + 5(2y - 5) = 1$. Раскроем скобки: $3y + 10y - 25 = 1$. Приведем подобные слагаемые: $13y = 26$, откуда $y = 2$.

Теперь найдем $z$, подставив $y = 2$ в выражение $z = 2y - 5$: $z = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1$.

Проверим решение по исходным уравнениям. Первое: $4(2) - 2(-1) = 8 + 2 = 10$. Второе: $3(2) + 5(-1) = 6 - 5 = 1$. Оба равенства верны.

Ответ: $(2; -1)$

е) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 8x - 3y = 22 \\ 3x + 4y = -2 \end{cases}$

Применим метод сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами:

$\begin{cases} (8x - 3y) \cdot 4 = 22 \cdot 4 \\ (3x + 4y) \cdot 3 = -2 \cdot 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 32x - 12y = 88 \\ 9x + 12y = -6 \end{cases}$

Сложим полученные уравнения: $(32x - 12y) + (9x + 12y) = 88 - 6$. Получаем $41x = 82$, откуда $x = 2$.

Подставим $x = 2$ во второе исходное уравнение $3x + 4y = -2$: $3(2) + 4y = -2$, то есть $6 + 4y = -2$. Отсюда $4y = -8$ и $y = -2$.

Проверка: подставим $x=2$ и $y=-2$ в первое уравнение: $8(2) - 3(-2) = 16 + 6 = 22$. Равенство верно.

Ответ: $(2; -2)$

641 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Найдите координаты точки пересечения прямых:

а) $8x + y = 27$ и $5x - y = 25$;

б) $3x - y = 19$ и $x - y = -1$;

в) $x + y = 2$ и $4x - 7y = -10$;

г) $2x - y = 3$ и $4x + 3y = -15$.

а) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями $8x + y = 27$ и $5x - y = 25$, необходимо решить систему этих уравнений:

$\begin{cases} 8x + y = 27 \\ 5x - y = 25 \end{cases}$

Для решения системы удобно использовать метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами. Сложим почленно два уравнения:

$(8x + y) + (5x - y) = 27 + 25$

$13x = 52$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{52}{13}$

$x = 4$

Подставим найденное значение $x=4$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$8(4) + y = 27$

$32 + y = 27$

$y = 27 - 32$

$y = -5$

Координаты точки пересечения прямых: $(4, -5)$.
Ответ: $(4, -5)$.

б) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых $3x - y = 19$ и $x - y = -1$, решим систему уравнений:

$\begin{cases} 3x - y = 19 \\ x - y = -1 \end{cases}$

Воспользуемся методом вычитания. Вычтем из первого уравнения второе:

$(3x - y) - (x - y) = 19 - (-1)$

$3x - y - x + y = 19 + 1$

$2x = 20$

$x = 10$

Подставим значение $x=10$ во второе уравнение системы:

$10 - y = -1$

$y = 10 + 1$

$y = 11$

Координаты точки пересечения прямых: $(10, 11)$.
Ответ: $(10, 11)$.

в) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых $x + y = 2$ и $4x - 7y = -10$, решим систему:

$\begin{cases} x + y = 2 \\ 4x - 7y = -10 \end{cases}$

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 2 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$4(2 - y) - 7y = -10$

$8 - 4y - 7y = -10$

$8 - 11y = -10$

$-11y = -10 - 8$

$-11y = -18$

$y = \frac{-18}{-11} = \frac{18}{11}$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 2 - y$:

$x = 2 - \frac{18}{11} = \frac{22}{11} - \frac{18}{11} = \frac{4}{11}$

Координаты точки пересечения прямых: $(\frac{4}{11}, \frac{18}{11})$.
Ответ: $(\frac{4}{11}, \frac{18}{11})$.

г) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых $2x - y = 3$ и $4x + 3y = -15$, решим систему:

$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x + 3y = -15 \end{cases}$

Применим метод сложения. Для этого умножим обе части первого уравнения на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$3 \cdot (2x - y) = 3 \cdot 3$

$6x - 3y = 9$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 6x - 3y = 9 \\ 4x + 3y = -15 \end{cases}$

Сложим почленно уравнения системы:

$(6x - 3y) + (4x + 3y) = 9 + (-15)$

$10x = -6$

$x = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$

Подставим найденное значение $x$ в первое исходное уравнение $2x - y = 3$:

$2(-\frac{3}{5}) - y = 3$

$-\frac{6}{5} - y = 3$

$-y = 3 + \frac{6}{5}$

$-y = \frac{15}{5} + \frac{6}{5}$

$-y = \frac{21}{5}$

$y = -\frac{21}{5}$

Координаты точки пересечения прямых: $(-\frac{3}{5}, -\frac{21}{5})$.
Ответ: $(-\frac{3}{5}, -\frac{21}{5})$.

642 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ Объясните, почему данная система не имеет решений или имеет бесчисленное множество решений (в этом случае приведите примеры решений системы):

а) $\begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 1 \end{cases};$

б) $\begin{cases} x - 2y = 4 \\ x - 2y = 0 \end{cases};$

в) $\begin{cases} y - x = 5 \\ 2y - 2x = 10 \end{cases};$

г) $\begin{cases} 3x + y = 1 \\ 6x + 2y = 12 \end{cases};$

д) $\begin{cases} x - 3y = 6 \\ 3x - 9y = -9 \end{cases};$

е) $\begin{cases} 4x + 2y = 2 \\ x + 0,5y = 0,5 \end{cases}.$

В каждом случае проиллюстрируйте ваш вывод графически.

а) $ \begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 1 \end{cases} $

Данная система уравнений не имеет решений. Если вычесть из первого уравнения второе, мы получим: $(x+y) - (x+y) = 3 - 1$, что приводит к неверному равенству $0 = 2$. Это означает, что не существует таких значений $x$ и $y$, которые бы одновременно удовлетворяли обоим уравнениям.

Геометрически каждое из этих уравнений представляет собой прямую на координатной плоскости. Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$:
$y = -x + 3$ (угловой коэффициент $k = -1$, смещение $b = 3$)
$y = -x + 1$ (угловой коэффициент $k = -1$, смещение $b = 1$)
Так как угловые коэффициенты прямых равны, а смещения различны, эти прямые параллельны и никогда не пересекаются.

Графическая иллюстрация: Графики этих уравнений – две параллельные прямые, которые не имеют ни одной общей точки.

Ответ: система не имеет решений.

б) $ \begin{cases} x - 2y = 4 \\ x - 2y = 0 \end{cases} $

Система не имеет решений. Левые части уравнений идентичны, а правые — различны. Если бы существовало решение, то выражение $x - 2y$ должно было бы одновременно равняться и 4, и 0, что невозможно. Вычитание второго уравнения из первого дает противоречие: $(x - 2y) - (x - 2y) = 4 - 0$, или $0 = 4$.

Приведем уравнения к виду $y = kx + b$:
$x - 4 = 2y \Rightarrow y = \frac{1}{2}x - 2$ (угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$, смещение $b = -2$)
$x = 2y \Rightarrow y = \frac{1}{2}x$ (угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$, смещение $b = 0$)
Прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, но разные смещения, следовательно, они параллельны.

Графическая иллюстрация: Графики уравнений – это две параллельные прямые, которые не пересекаются.

Ответ: система не имеет решений.

в) $ \begin{cases} y - x = 5 \\ 2y - 2x = 10 \end{cases} $

Данная система имеет бесчисленное множество решений. Если мы разделим второе уравнение на 2, мы получим: $(2y - 2x)/2 = 10/2$, что дает $y - x = 5$. Это уравнение в точности совпадает с первым. Таким образом, оба уравнения описывают одну и ту же зависимость между $x$ и $y$.

Геометрически оба уравнения представляют одну и ту же прямую. Выразим $y$ через $x$:
Из первого уравнения: $y = x + 5$.
Из второго уравнения: $2y = 2x + 10 \Rightarrow y = x + 5$.
Так как уравнения прямых полностью совпадают, они накладываются друг на друга, и любая точка этой прямой является решением системы.

Примеры решений: можно выбрать любое значение для $x$ и найти соответствующий $y$ по формуле $y = x + 5$.
- Если $x = 0$, то $y = 5$. Решение: $(0, 5)$.
- Если $x = 1$, то $y = 6$. Решение: $(1, 6)$.
- Если $x = -2$, то $y = 3$. Решение: $(-2, 3)$.

Графическая иллюстрация: Графики обоих уравнений – это одна и та же прямая, проходящая, например, через точки (0, 5) и (-5, 0).

Ответ: система имеет бесчисленное множество решений.

г) $ \begin{cases} 3x + y = 1 \\ 6x + 2y = 12 \end{cases} $

Система не имеет решений. Умножим первое уравнение на 2: $2(3x + y) = 2 \cdot 1 \Rightarrow 6x + 2y = 2$. Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 6x + 2y = 2 \\ 6x + 2y = 12 \end{cases} $. Левые части уравнений равны, а правые — нет, что является противоречием.

Приведем уравнения к виду $y = kx + b$:
$y = -3x + 1$ (угловой коэффициент $k = -3$, смещение $b = 1$)
$2y = -6x + 12 \Rightarrow y = -3x + 6$ (угловой коэффициент $k = -3$, смещение $b = 6$)
Угловые коэффициенты прямых равны, а смещения — нет. Следовательно, прямые параллельны.

Графическая иллюстрация: Графики уравнений являются двумя параллельными прямыми, которые не пересекаются.

Ответ: система не имеет решений.

д) $ \begin{cases} x - 3y = 6 \\ 3x - 9y = -9 \end{cases} $

Система не имеет решений. Умножим первое уравнение на 3: $3(x - 3y) = 3 \cdot 6 \Rightarrow 3x - 9y = 18$. Сравним его со вторым уравнением: $3x - 9y = -9$. Выражение $3x - 9y$ не может одновременно быть равно 18 и -9. Это противоречие.

Приведем уравнения к виду $y = kx + b$:
$x - 6 = 3y \Rightarrow y = \frac{1}{3}x - 2$ (угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$, смещение $b = -2$)
$3x + 9 = 9y \Rightarrow y = \frac{3}{9}x + \frac{9}{9} \Rightarrow y = \frac{1}{3}x + 1$ (угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$, смещение $b = 1$)
Прямые параллельны, так как их угловые коэффициенты равны, а смещения различны.

Графическая иллюстрация: Графики — две параллельные прямые, не имеющие общих точек.

Ответ: система не имеет решений.

е) $ \begin{cases} 4x + 2y = 2 \\ x + 0.5y = 0.5 \end{cases} $

Система имеет бесчисленное множество решений. Если мы умножим второе уравнение на 4, мы получим: $4(x + 0.5y) = 4 \cdot 0.5 \Rightarrow 4x + 2y = 2$. Полученное уравнение идентично первому уравнению системы. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же зависимость.

Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$:
$2y = -4x + 2 \Rightarrow y = -2x + 1$.
$0.5y = -x + 0.5 \Rightarrow y = -2x + 1$.
Уравнения описывают одну и ту же прямую, поэтому любая точка этой прямой является решением.

Примеры решений: можно выбрать любое значение для $x$ и найти $y$ из уравнения $y = -2x + 1$.
- Если $x = 0$, то $y = 1$. Решение: $(0, 1)$.
- Если $x = 1$, то $y = -1$. Решение: $(1, -1)$.
- Если $x = 0.5$, то $y = 0$. Решение: $(0.5, 0)$.

Графическая иллюстрация: Графики обоих уравнений совпадают, образуя одну прямую $y = -2x + 1$.

Ответ: система имеет бесчисленное множество решений.

643 Используя графические соображения, установите, какая из данных систем уравнений имеет единственное решение.

1) $\begin{cases} 2x - y = 8 \\ y - 2x = -8 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x - 2y = 8 \\ y - x = 8 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - 2y = 8 \\ 2x - y = 8 \end{cases}$

Чтобы установить, какая из данных систем уравнений имеет единственное решение, используя графические соображения, необходимо проанализировать угловые коэффициенты прямых, которые являются графиками этих уравнений. Система двух линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямые пересекаются в одной точке, то есть когда их угловые коэффициенты различны. Приведем каждое уравнение к виду $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой.

1) Рассмотрим систему:
$\begin{cases} 2x - y = 8 \\ y - 2x = -8 \end{cases}$
Приведем первое уравнение к виду $y = kx + b$:
$2x - y = 8 \implies -y = -2x + 8 \implies y = 2x - 8$.
Угловой коэффициент первой прямой $k_1 = 2$.
Приведем второе уравнение к виду $y = kx + b$:
$y - 2x = -8 \implies y = 2x - 8$.
Угловой коэффициент второй прямой $k_2 = 2$.
Поскольку угловые коэффициенты и свободные члены совпадают ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), эти уравнения описывают одну и ту же прямую. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: система имеет бесконечно много решений.

2) Рассмотрим систему:
$\begin{cases} 2x - 2y = 8 \\ y - x = 8 \end{cases}$
Приведем первое уравнение к виду $y = kx + b$:
$2x - 2y = 8$, разделим на 2, получим $x - y = 4 \implies -y = -x + 4 \implies y = x - 4$.
Угловой коэффициент первой прямой $k_1 = 1$.
Приведем второе уравнение к виду $y = kx + b$:
$y - x = 8 \implies y = x + 8$.
Угловой коэффициент второй прямой $k_2 = 1$.
Поскольку угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($-4 \neq 8$), графики уравнений являются параллельными прямыми. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.

3) Рассмотрим систему:
$\begin{cases} x - 2y = 8 \\ 2x - y = 8 \end{cases}$
Приведем первое уравнение к виду $y = kx + b$:
$x - 2y = 8 \implies -2y = -x + 8 \implies y = \frac{1}{2}x - 4$.
Угловой коэффициент первой прямой $k_1 = \frac{1}{2}$.
Приведем второе уравнение к виду $y = kx + b$:
$2x - y = 8 \implies -y = -2x + 8 \implies y = 2x - 8$.
Угловой коэффициент второй прямой $k_2 = 2$.
Поскольку угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), графики уравнений пересекаются в одной точке. Следовательно, данная система имеет единственное решение.
Ответ: система имеет единственное решение.

644 Известно, что одно из двух уравнений системы — это уравнение $y = 0,5x - 3$, а вторым уравнением может быть любое уравнение из следующих:

$2y - x = 0, x + 2y = 0, x - 2y = 6, 4y - 2x = 6,$
$4y + 2x = 6, 2y - x + 6 = 0.$

Используя графические представления, установите в каждом случае, имеет ли система решения, и если имеет, то сколько — одно или бесчисленное множество.

Для решения этой задачи мы будем использовать графический метод. Решением системы двух линейных уравнений является точка (или точки) пересечения их графиков. Графиком линейного уравнения является прямая. Взаимное расположение двух прямых на плоскости определяет количество решений системы:

• Если прямые пересекаются, система имеет одно единственное решение. Это происходит, когда угловые коэффициенты прямых различны.
• Если прямые параллельны и не совпадают, у них нет общих точек, и система не имеет решений. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, а точки пересечения с осью Y различны.
• Если прямые совпадают, у них бесконечно много общих точек, и система имеет бесчисленное множество решений. Это происходит, когда и угловые коэффициенты, и точки пересечения с осью Y одинаковы.

Первое уравнение системы — $y = 0,5x - 3$. Это уравнение прямой в виде с угловым коэффициентом. Его угловой коэффициент $k_1 = 0,5$, а ордината точки пересечения с осью Y (свободный член) $b_1 = -3$.

Рассмотрим каждое из предложенных вторых уравнений, приводя их к виду $y = kx + b$ для сравнения.