Страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решите систему уравнений (645—646).

645 a) $\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2 \\ \frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{u}{5} + \frac{v}{2} = 2 \\ -\frac{u}{3} + \frac{v}{2} = \frac{2}{3}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2p - \frac{q}{2} = 14 \\ \frac{p}{2} + \frac{q}{8} = 7; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{3m}{2} + \frac{2n}{3} = 6 \\ \frac{3m}{4} + \frac{n}{3} = 12. \end{cases}$

а) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2 \\ \frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 5 \end{cases} $

Для того чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3), а второе уравнение на 4 (наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 2).

Первое уравнение:

$6 \cdot (\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) = 6 \cdot 2$

$3x - 2y = 12$

Второе уравнение:

$4 \cdot (\frac{x}{4} + \frac{y}{2}) = 4 \cdot 5$

$x + 2y = 20$

Получаем эквивалентную систему уравнений без дробей:

$ \begin{cases} 3x - 2y = 12 \\ x + 2y = 20 \end{cases} $

Сложим почленно два уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$:

$(3x - 2y) + (x + 2y) = 12 + 20$

$4x = 32$

$x = \frac{32}{4}$

$x = 8$

Подставим найденное значение $x=8$ во второе упрощенное уравнение $x + 2y = 20$:

$8 + 2y = 20$

$2y = 20 - 8$

$2y = 12$

$y = \frac{12}{2}$

$y = 6$

Ответ: $(8; 6)$

б) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{u}{5} + \frac{v}{2} = 2 \\ -\frac{u}{3} + \frac{v}{2} = \frac{2}{3} \end{cases} $

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 10 (НОК(5, 2)), а второе на 6 (НОК(3, 2)).

Первое уравнение:

$10 \cdot (\frac{u}{5} + \frac{v}{2}) = 10 \cdot 2$

$2u + 5v = 20$

Второе уравнение:

$6 \cdot (-\frac{u}{3} + \frac{v}{2}) = 6 \cdot \frac{2}{3}$

$-2u + 3v = 4$

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} 2u + 5v = 20 \\ -2u + 3v = 4 \end{cases} $

Сложим уравнения системы:

$(2u + 5v) + (-2u + 3v) = 20 + 4$

$8v = 24$

$v = \frac{24}{8}$

$v = 3$

Подставим $v = 3$ в первое упрощенное уравнение $2u + 5v = 20$:

$2u + 5 \cdot 3 = 20$

$2u + 15 = 20$

$2u = 5$

$u = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $(2.5; 3)$

в) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 2p - \frac{q}{2} = 14 \\ \frac{p}{2} + \frac{q}{8} = 7 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 8, чтобы избавиться от дробей.

Первое уравнение:

$2 \cdot (2p - \frac{q}{2}) = 2 \cdot 14$

$4p - q = 28$

Второе уравнение:

$8 \cdot (\frac{p}{2} + \frac{q}{8}) = 8 \cdot 7$

$4p + q = 56$

Получаем систему:

$ \begin{cases} 4p - q = 28 \\ 4p + q = 56 \end{cases} $

Сложим уравнения системы:

$(4p - q) + (4p + q) = 28 + 56$

$8p = 84$

$p = \frac{84}{8} = \frac{21}{2} = 10.5$

Подставим $p = 10.5$ во второе упрощенное уравнение $4p + q = 56$:

$4 \cdot 10.5 + q = 56$

$42 + q = 56$

$q = 56 - 42$

$q = 14$

Ответ: $(10.5; 14)$

г) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{3m}{2} + \frac{2n}{3} = 6 \\ \frac{3m}{4} + \frac{n}{3} = 12 \end{cases} $

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 6 (НОК(2, 3)), а второе на 12 (НОК(4, 3)).

Первое уравнение:

$6 \cdot (\frac{3m}{2} + \frac{2n}{3}) = 6 \cdot 6$

$3 \cdot 3m + 2 \cdot 2n = 36$

$9m + 4n = 36$

Второе уравнение:

$12 \cdot (\frac{3m}{4} + \frac{n}{3}) = 12 \cdot 12$

$3 \cdot 3m + 4 \cdot n = 144$

$9m + 4n = 144$

Получаем систему:

$ \begin{cases} 9m + 4n = 36 \\ 9m + 4n = 144 \end{cases} $

Левые части уравнений одинаковы, а правые различны. Вычтем из первого уравнения второе:

$(9m + 4n) - (9m + 4n) = 36 - 144$

$0 = -108$

Получено неверное равенство, которое не зависит от значений переменных. Это означает, что система уравнений несовместна и не имеет решений.

Ответ: решений нет.

646 а) $\begin{cases} 7(x+y) = 28 \\ 3(x-y) = 33 \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{1}{3}(a-b) = 5 \\ \frac{1}{5}(a+b) = 2 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 0,6(m-n) = 4,2 \\ 0,3(m+n) = 1,5 \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{2}{3}(u+v) = \frac{4}{3} \\ \frac{3}{4}(u-v) = \frac{3}{2} \end{cases}$

а) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 7(x + y) = 28 \\ 3(x - y) = 33\end{cases}$

Для решения этой системы сначала упростим каждое уравнение. Разделим обе части первого уравнения на 7, а второго – на 3:

$\begin{cases} x + y = 28 / 7 \\ x - y = 33 / 3\end{cases}$

В результате получим более простую систему:

$\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 11\end{cases}$

Теперь воспользуемся методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$(x + y) + (x - y) = 4 + 11$

$2x = 15$

$x = 15 / 2 = 7,5$

Подставим найденное значение $x$ в первое упрощенное уравнение ($x + y = 4$):

$7,5 + y = 4$

$y = 4 - 7,5$

$y = -3,5$

Ответ: $x = 7,5$; $y = -3,5$.

б) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{3}(a - b) = 5 \\ \frac{1}{5}(a + b) = 2\end{cases}$

Упростим каждое уравнение, умножив первое на 3, а второе на 5:

$\begin{cases} a - b = 5 \cdot 3 \\ a + b = 2 \cdot 5\end{cases}$

Получим систему:

$\begin{cases} a - b = 15 \\ a + b = 10\end{cases}$

Применим метод сложения:

$(a - b) + (a + b) = 15 + 10$

$2a = 25$

$a = 25 / 2 = 12,5$

Подставим значение $a$ во второе упрощенное уравнение ($a + b = 10$):

$12,5 + b = 10$

$b = 10 - 12,5$

$b = -2,5$

Ответ: $a = 12,5$; $b = -2,5$.

в) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 0,6(m - n) = 4,2 \\ 0,3(m + n) = 1,5\end{cases}$

Упростим каждое уравнение. Разделим первое уравнение на 0,6, а второе на 0,3:

$\begin{cases} m - n = 4,2 / 0,6 \\ m + n = 1,5 / 0,3\end{cases}$

Получим систему:

$\begin{cases} m - n = 7 \\ m + n = 5\end{cases}$

Сложим уравнения:

$(m - n) + (m + n) = 7 + 5$

$2m = 12$

$m = 12 / 2 = 6$

Подставим значение $m$ во второе упрощенное уравнение ($m + n = 5$):

$6 + n = 5$

$n = 5 - 6$

$n = -1$

Ответ: $m = 6$; $n = -1$.

г) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} \frac{2}{3}(u + v) = \frac{4}{3} \\ \frac{3}{4}(u - v) = \frac{3}{2}\end{cases}$

Упростим первое уравнение, умножив обе его части на $\frac{3}{2}$:

$u + v = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}$

$u + v = 2$

Упростим второе уравнение, умножив обе его части на $\frac{4}{3}$:

$u - v = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}$

$u - v = 2$

В результате получим систему:

$\begin{cases} u + v = 2 \\ u - v = 2\end{cases}$

Сложим уравнения:

$(u + v) + (u - v) = 2 + 2$

$2u = 4$

$u = 4 / 2 = 2$

Подставим значение $u$ в первое упрощенное уравнение ($u + v = 2$):

$2 + v = 2$

$v = 2 - 2$

$v = 0$

Ответ: $u = 2$; $v = 0$.

647 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

Найдите расстояние от точки пересечения прямых $5x - 5y = -1$ и $5x + 5y = 7$ до оси $x$, оси $y$, начала координат.

Для того чтобы найти расстояния, сначала определим координаты точки пересечения заданных прямых. Для этого решим систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 5x - 5y = -1 \\ 5x + 5y = 7 \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$(5x - 5y) + (5x + 5y) = -1 + 7$

$10x = 6$

$x = \frac{6}{10} = 0.6$

Теперь, зная значение $x$, подставим его в одно из уравнений системы, чтобы найти $y$. Подставим в второе уравнение:

$5(0.6) + 5y = 7$

$3 + 5y = 7$

$5y = 7 - 3$

$5y = 4$

$y = \frac{4}{5} = 0.8$

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $M(0.6; 0.8)$. Теперь найдем расстояния от этой точки до указанных объектов.

Расстояние до оси x

Расстояние от точки с координатами $(x_0; y_0)$ до оси абсцисс (оси x) равно модулю ее ординаты, то есть $|y_0|$.

Для точки $M(0.6; 0.8)$ расстояние до оси x составляет $|0.8| = 0.8$.

Ответ: 0.8

Расстояние до оси y

Расстояние от точки с координатами $(x_0; y_0)$ до оси ординат (оси y) равно модулю ее абсциссы, то есть $|x_0|$.

Для точки $M(0.6; 0.8)$ расстояние до оси y составляет $|0.6| = 0.6$.

Ответ: 0.6

Расстояние до начала координат

Расстояние от точки с координатами $(x_0; y_0)$ до начала координат $O(0; 0)$ находится по формуле расстояния между двумя точками: $d = \sqrt{(x_0 - 0)^2 + (y_0 - 0)^2} = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.

Для точки $M(0.6; 0.8)$ расстояние до начала координат равно:

$d = \sqrt{(0.6)^2 + (0.8)^2} = \sqrt{0.36 + 0.64} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: 1

648 ИССЛЕДУЕМ 1) Убедитесь в том, что графической моделью каждой из данных систем являются совпадающие прямые:

a) $\begin{cases} 2x + 8y = 10 \\ 5x + 20y = 25; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 4x - 12y = 40 \\ 5x - 15y = 50. \end{cases}$

Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при x, коэффициентов при y и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система имеет бесконечно много решений.

2) Убедитесь в том, что графической моделью каждой из данных систем являются параллельные прямые:

a) $\begin{cases} 3x + 6y = -3 \\ 4x + 8y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 6x + 2y = 1 \\ 9x + 3y = 9. \end{cases}$

Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при x, коэффициентов при y и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система не имеет решений.

3) Дано уравнение $5x + y = 8$. Составьте ещё одно уравнение так, чтобы вместе с данным оно образовало систему:

a) имеющую бесконечно много решений;

б) не имеющую решений.

4) Существует ли такое значение $a$, при котором система уравнений

$\begin{cases} ax + 3y = 6 \\ 2x + y = 18 \end{cases}$

имеет бесконечно много решений? не имеет решений? Если существует, то укажите его.

1) Для того чтобы убедиться, что графической моделью каждой из систем являются совпадающие прямые, можно привести каждое уравнение в системе к одинаковому виду. Если уравнения окажутся идентичными, то их графики совпадают, и система имеет бесконечно много решений.

а) Рассматриваем систему $\begin{cases} 2x + 8y = 10 \\ 5x + 20y = 25 \end{cases}$.

Разделим первое уравнение на 2: $(2x + 8y) : 2 = 10 : 2$, что дает $x + 4y = 5$.

Разделим второе уравнение на 5: $(5x + 20y) : 5 = 25 : 5$, что дает $x + 4y = 5$.

Так как оба уравнения приводятся к виду $x + 4y = 5$, их графики совпадают. Теперь сравним отношения коэффициентов при $x$, $y$ и свободных членов: $\frac{2}{5}$, $\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$, $\frac{10}{25} = \frac{2}{5}$. Все три отношения равны: $\frac{2}{5} = \frac{8}{20} = \frac{10}{25}$.

б) Рассматриваем систему $\begin{cases} 4x - 12y = 40 \\ 5x - 15y = 50 \end{cases}$.

Разделим первое уравнение на 4: $(4x - 12y) : 4 = 40 : 4$, что дает $x - 3y = 10$.

Разделим второе уравнение на 5: $(5x - 15y) : 5 = 50 : 5$, что дает $x - 3y = 10$.

Оба уравнения идентичны, значит, их графики совпадают. Сравним отношения коэффициентов: $\frac{4}{5}$, $\frac{-12}{-15} = \frac{4}{5}$, $\frac{40}{50} = \frac{4}{5}$. Все три отношения равны: $\frac{4}{5} = \frac{-12}{-15} = \frac{40}{50}$.

Признак: Система двух линейных уравнений с двумя переменными $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда отношения коэффициентов при соответствующих переменных и свободных членов равны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

2) Для того чтобы убедиться, что графической моделью каждой из систем являются параллельные прямые, можно выразить $y$ через $x$ в каждом уравнении (привести к виду $y = kx + b$) и сравнить их угловые коэффициенты $k$ и точки пересечения с осью y $b$. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а точки пересечения с осью y различны ($b_1 \neq b_2$).

а) Рассматриваем систему $\begin{cases} 3x + 6y = -3 \\ 4x + 8y = 2 \end{cases}$.

Из первого уравнения: $6y = -3x - 3 \implies y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент $k_1 = -\frac{1}{2}$.

Из второго уравнения: $8y = -4x + 2 \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$. Угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{2}$.

Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, прямые параллельны. Теперь сравним отношения коэффициентов: $\frac{3}{4}$, $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$, $\frac{-3}{2}$. Отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{3}{4} = \frac{6}{8} \ne \frac{-3}{2}$.

б) Рассматриваем систему $\begin{cases} 6x + 2y = 1 \\ 9x + 3y = 9 \end{cases}$.

Из первого уравнения: $2y = -6x + 1 \implies y = -3x + \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент $k_1 = -3$.

Из второго уравнения: $3y = -9x + 9 \implies y = -3x + 3$. Угловой коэффициент $k_2 = -3$.

Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, прямые параллельны. Сравним отношения коэффициентов: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{9}$. Отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3} \ne \frac{1}{9}$.

Признак: Система двух линейных уравнений с двумя переменными $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ не имеет решений тогда и только тогда, когда отношения коэффициентов при соответствующих переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$.

3) Дано уравнение $5x + y = 8$.

а) Чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно быть пропорционально первому. Для этого умножим все члены данного уравнения на любое число, отличное от нуля, например, на 2. Получим: $2(5x + y) = 2 \cdot 8 \implies 10x + 2y = 16$. Ответ: Например, уравнение $10x + 2y = 16$.

б) Чтобы система не имела решений, коэффициенты при $x$ и $y$ во втором уравнении должны быть пропорциональны коэффициентам первого, а свободный член — нет. Умножим левую часть на 2: $2(5x + y) = 10x + 2y$. Правая часть не должна быть равна $8 \cdot 2 = 16$. Возьмем любое другое число, например, 1. Получим: $10x + 2y = 1$. Ответ: Например, уравнение $10x + 2y = 1$.

4) Рассматривается система уравнений $\begin{cases} ax + 3y = 6 \\ 2x + y = 18 \end{cases}$.

Сравним отношения коэффициентов. Для этой системы $a_1 = a, b_1 = 3, c_1 = 6$ и $a_2 = 2, b_2 = 1, c_2 = 18$.

Найдем отношение коэффициентов при $y$ и отношение свободных членов:

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{1} = 3$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

Для того чтобы система имела бесконечно много решений, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$. Однако мы видим, что $\frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$ (так как $3 \ne \frac{1}{3}$). Следовательно, ни при каком значении $a$ эта система не может иметь бесконечно много решений.

Для того чтобы система не имела решений, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$. Неравенство $\frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$ уже выполняется. Остается найти $a$, при котором $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$.

$\frac{a}{2} = \frac{3}{1}$

Отсюда $a = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: Значения $a$, при котором система имеет бесконечно много решений, не существует. Система не имеет решений при $a=6$.