Страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

660 Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} x + y = -2 \\ y + z = 4 \\ z + x = 2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x + y + z = 0 \\ y + z + u = 5 \\ z + u + x = 6 \\ u + x + y = 1. \end{cases} $

Указание. a) Сложите все уравнения системы и в полученное уравнение подставьте поочерёдно значения $x + y$, $y + z$ и $z + x$.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -2 \\ y + z = 4 \\ z + x = 2 \end{cases} $

Следуя указанию, сложим все три уравнения системы:

$(x + y) + (y + z) + (z + x) = -2 + 4 + 2$

Приведя подобные слагаемые в левой части, получаем:

$2x + 2y + 2z = 4$

Разделим обе части полученного уравнения на 2:

$x + y + z = 2$

Теперь в полученное уравнение будем поочередно подставлять выражения из исходной системы.

1. Подставим значение $x + y = -2$ из первого уравнения в $x + y + z = 2$:

$(x + y) + z = 2$

$-2 + z = 2$

$z = 4$

2. Подставим значение $y + z = 4$ из второго уравнения в $x + y + z = 2$:

$x + (y + z) = 2$

$x + 4 = 2$

$x = 2 - 4$

$x = -2$

3. Подставим значение $z + x = 2$ из третьего уравнения в $x + y + z = 2$:

$y + (z + x) = 2$

$y + 2 = 2$

$y = 0$

Проверим найденные значения: $x = -2, y = 0, z = 4$.

$x + y = -2 + 0 = -2$ (верно)

$y + z = 0 + 4 = 4$ (верно)

$z + x = 4 + (-2) = 2$ (верно)

Ответ: $x = -2, y = 0, z = 4$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y + z = 0 \\ y + z + u = 5 \\ z + u + x = 6 \\ u + x + y = 1 \end{cases} $

Решим эту систему аналогичным методом. Сложим все четыре уравнения:

$(x + y + z) + (y + z + u) + (z + u + x) + (u + x + y) = 0 + 5 + 6 + 1$

Сгруппируем переменные:

$3x + 3y + 3z + 3u = 12$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x + y + z + u = 4$

Теперь в полученное уравнение будем поочередно подставлять выражения из исходной системы.

1. Подставим $x + y + z = 0$ из первого уравнения:

$(x + y + z) + u = 4$

$0 + u = 4$

$u = 4$

2. Подставим $y + z + u = 5$ из второго уравнения:

$x + (y + z + u) = 4$

$x + 5 = 4$

$x = 4 - 5$

$x = -1$

3. Подставим $z + u + x = 6$ из третьего уравнения:

$y + (z + u + x) = 4$

$y + 6 = 4$

$y = 4 - 6$

$y = -2$

4. Подставим $u + x + y = 1$ из четвертого уравнения:

$z + (u + x + y) = 4$

$z + 1 = 4$

$z = 4 - 1$

$z = 3$

Проверим найденные значения: $x = -1, y = -2, z = 3, u = 4$.

$x + y + z = -1 + (-2) + 3 = 0$ (верно)

$y + z + u = -2 + 3 + 4 = 5$ (верно)

$z + u + x = 3 + 4 + (-1) = 6$ (верно)

$u + x + y = 4 + (-1) + (-2) = 1$ (верно)

Ответ: $x = -1, y = -2, z = 3, u = 4$.

661 Решите систему уравнений:

a) $$\left\{ \begin{array}{l} x + z = 3 \\ y + z = 1 \\ x + y = 2 \end{array} \right.;$$

б) $$\left\{ \begin{array}{l} x - y = 3y \\ z - 2y = y \\ x - z = 5 \end{array} \right.;$$

в) $$\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 3 \\ x - y + z = 1 \\ x - y - z = 9 \end{array} \right.;$$

г) $$\left\{ \begin{array}{l} x + y - z = 18 \\ x - y = 10 \\ y - z = 6 \end{array} \right..$$

а) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} x + z = 3 \\ y + z = 1 \\ x + y = 2 \end{cases} $

Сложим все три уравнения системы:

$(x + z) + (y + z) + (x + y) = 3 + 1 + 2$

$2x + 2y + 2z = 6$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x + y + z = 3$

Теперь, чтобы найти каждую переменную, будем вычитать из полученного уравнения каждое из исходных уравнений системы по очереди.

Вычтем из уравнения $x + y + z = 3$ первое уравнение $x + z = 3$:

$(x + y + z) - (x + z) = 3 - 3$

$y = 0$

Вычтем из уравнения $x + y + z = 3$ второе уравнение $y + z = 1$:

$(x + y + z) - (y + z) = 3 - 1$

$x = 2$

Вычтем из уравнения $x + y + z = 3$ третье уравнение $x + y = 2$:

$(x + y + z) - (x + y) = 3 - 2$

$z = 1$

Проверим найденные значения: $2+1=3$ (верно), $0+1=1$ (верно), $2+0=2$ (верно).

Ответ: $x=2, y=0, z=1$.

б) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 3y \\ z - 2y = y \\ x - z = 5 \end{cases} $

Сначала упростим первые два уравнения, выразив $x$ и $z$ через $y$.

Из первого уравнения: $x - y = 3y \implies x = 3y + y \implies x = 4y$.

Из второго уравнения: $z - 2y = y \implies z = y + 2y \implies z = 3y$.

Теперь подставим полученные выражения для $x$ и $z$ в третье уравнение системы $x - z = 5$:

$(4y) - (3y) = 5$

$y = 5$

Теперь, зная значение $y$, найдем $x$ и $z$:

$x = 4y = 4 \cdot 5 = 20$

$z = 3y = 3 \cdot 5 = 15$

Проверим найденные значения: $20-5 = 15$ и $3 \cdot 5 = 15$ (верно), $15 - 2 \cdot 5 = 5$ и $y=5$ (верно), $20 - 15 = 5$ (верно).

Ответ: $x=20, y=5, z=15$.

в) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y + z = 3 \quad (1) \\ x - y + z = 1 \quad (2) \\ x - y - z = 9 \quad (3) \end{cases} $

Воспользуемся методом алгебраического сложения (вычитания) уравнений.

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$(x + y + z) - (x - y + z) = 3 - 1$

$2y = 2$

$y = 1$

Теперь вычтем уравнение (3) из уравнения (2):

$(x - y + z) - (x - y - z) = 1 - 9$

$2z = -8$

$z = -4$

Подставим найденные значения $y=1$ и $z=-4$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x + 1 + (-4) = 3$

$x - 3 = 3$

$x = 6$

Проверим найденные значения в остальных уравнениях:

Уравнение (2): $6 - 1 + (-4) = 5 - 4 = 1$ (верно).

Уравнение (3): $6 - 1 - (-4) = 5 + 4 = 9$ (верно).

Ответ: $x=6, y=1, z=-4$.

г) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y - z = 18 \quad (1) \\ x - y = 10 \quad (2) \\ y - z = 6 \quad (3) \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Из второго и третьего уравнений можно выразить $x$ и $z$ через $y$.

Из уравнения (2) выразим $x$:

$x = 10 + y$

Из уравнения (3) выразим $z$:

$y - z = 6 \implies z = y - 6$

Теперь подставим эти выражения для $x$ и $z$ в первое уравнение системы:

$(10 + y) + y - (y - 6) = 18$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$10 + y + y - y + 6 = 18$

$y + 16 = 18$

$y = 18 - 16$

$y = 2$

Теперь, зная $y$, найдем $x$ и $z$:

$x = 10 + y = 10 + 2 = 12$

$z = y - 6 = 2 - 6 = -4$

Проверим найденные значения: $12+2-(-4) = 18$ (верно), $12-2=10$ (верно), $2-(-4)=6$ (верно).

Ответ: $x=12, y=2, z=-4$.

662 Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + 2x + y^2 = 16 \\ x + y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0 \\ x + 2y = 3. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + 2x + y^2 = 16 \\ x + y = 2 \end{cases} $$

Для решения этой системы используем метод подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 2 - x$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x^2 + 2x + (2 - x)^2 = 16$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение, приведя подобные слагаемые:

$x^2 + 2x + 4 - 4x + x^2 = 16$

$2x^2 - 2x + 4 = 16$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 2x - 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя выражение $y = 2 - x$.

1. Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 2 - 3 = -1$.

2. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3; -1)$, $(-2; 4)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0 \\ x + 2y = 3 \end{cases} $$

Используем метод подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 3 - 2y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$(3 - 2y)^2 + y^2 - 2(3 - 2y) - 6y + 6 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(9 - 12y + 4y^2) + y^2 - 6 + 4y - 6y + 6 = 0$

$(4y^2 + y^2) + (-12y + 4y - 6y) + (9 - 6 + 6) = 0$

$5y^2 - 14y + 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 196 - 180 = 16$

Найдем корни уравнения, используя формулу $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{14 \pm 4}{10}$

Отсюда получаем два значения для $y$:

$y_1 = \frac{14 + 4}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

$y_2 = \frac{14 - 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя выражение $x = 3 - 2y$.

1. Если $y_1 = \frac{9}{5}$, то $x_1 = 3 - 2 \cdot \frac{9}{5} = 3 - \frac{18}{5} = \frac{15 - 18}{5} = -\frac{3}{5}$.

2. Если $y_2 = 1$, то $x_2 = 3 - 2 \cdot 1 = 1$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(-\frac{3}{5}; \frac{9}{5})$, $(1; 1)$.

663 РАССУЖДАЕМ Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению:

a) $x^2 - y^2 = 64$;

б) $x^2 - y^2 = 15;$

в) $x^2 - y^2 = 44.$

Указание. a) Разложите на множители левую часть уравнения, получится уравнение $(x-y)(x+y) = 64$. Числа $x - y$ и $x + y$ — натуральные, причём их произведение равно 64. Найдите все пары натуральных чисел, дающих в произведении 64, и составьте соответствующие системы уравнений. Чтобы не выписывать лишние системы уравнений, можно учесть, что $x > y$, а $x - y < x + y$.

Разложим левую часть уравнения $x^2 - y^2 = 64$ на множители, используя формулу разности квадратов:

$(x - y)(x + y) = 64$

Поскольку $x$ и $y$ по условию являются натуральными числами, то их сумма $x+y$ и разность $x-y$ являются целыми числами. Так как произведение $(x-y)(x+y) = 64 > 0$ и сумма $x+y > 0$, то и разность $x-y$ должна быть положительным числом. Это означает, что $x > y$, и, следовательно, $x-y$ является натуральным числом.

Обозначим $a = x-y$ и $b = x+y$. Числа $a$ и $b$ — натуральные делители числа 64. Также, поскольку $y$ — натуральное число ($y \ge 1$), то $x+y = (x-y) + 2y > x-y$, следовательно, $b > a$.

Решим систему уравнений относительно $x$ и $y$: $\begin{cases} x - y = a \\ x + y = b \end{cases}$

Сложив уравнения, получим $2x = a+b$, откуда $x = \frac{a+b}{2}$. Вычтя первое уравнение из второго, получим $2y = b-a$, откуда $y = \frac{b-a}{2}$.

Для того чтобы $x$ и $y$ были целыми числами, необходимо, чтобы выражения $a+b$ и $b-a$ были четными. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковую четность (оба четные или оба нечетные).

Найдем все пары натуральных делителей $(a, b)$ числа 64, для которых $a < b$: Делители 64: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Пары $(a, b)$: (1, 64), (2, 32), (4, 16).

Проверим каждую пару на условие одинаковой четности:
1. Пара (1, 64): 1 — нечетное, 64 — четное. Четность разная, эта пара не дает целочисленных решений.
2. Пара (2, 32): оба числа четные. Эта пара дает решение. $\begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 32 \end{cases} \Rightarrow 2x = 34, x = 17; \quad 2y = 30, y = 15$. Пара $(17, 15)$ — решение.
3. Пара (4, 16): оба числа четные. Эта пара дает решение. $\begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 16 \end{cases} \Rightarrow 2x = 20, x = 10; \quad 2y = 12, y = 6$. Пара $(10, 6)$ — решение.

Ответ: $(17, 15)$, $(10, 6)$.

Рассмотрим уравнение $x^2 - y^2 = 15$. Разложим левую часть на множители:

$(x - y)(x + y) = 15$

Аналогично предыдущему пункту, $x-y$ и $x+y$ — натуральные делители числа 15, причем $x-y < x+y$. Для целочисленности решений $x$ и $y$ необходимо, чтобы множители $x-y$ и $x+y$ имели одинаковую четность.

Найдем пары натуральных делителей $(a, b)$ числа 15, для которых $a < b$: Делители 15: 1, 3, 5, 15. Пары $(a, b)$: (1, 15), (3, 5).

Проверим каждую пару:
1. Пара (1, 15): оба числа нечетные. Четность совпадает. $\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 15 \end{cases} \Rightarrow 2x = 16, x = 8; \quad 2y = 14, y = 7$. Пара $(8, 7)$ — решение.
2. Пара (3, 5): оба числа нечетные. Четность совпадает. $\begin{cases} x - y = 3 \\ x + y = 5 \end{cases} \Rightarrow 2x = 8, x = 4; \quad 2y = 2, y = 1$. Пара $(4, 1)$ — решение.

Ответ: $(8, 7)$, $(4, 1)$.

Рассмотрим уравнение $x^2 - y^2 = 44$. Разложим левую часть на множители:

$(x - y)(x + y) = 44$

Множители $x-y$ и $x+y$ — натуральные делители числа 44, причем $x-y < x+y$ и они должны иметь одинаковую четность.

Найдем пары натуральных делителей $(a, b)$ числа 44, для которых $a < b$: Делители 44: 1, 2, 4, 11, 22, 44. Пары $(a, b)$: (1, 44), (2, 22), (4, 11).

Проверим каждую пару на условие одинаковой четности:
1. Пара (1, 44): 1 — нечетное, 44 — четное. Четность разная, решений нет.
2. Пара (2, 22): оба числа четные. Четность совпадает. $\begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 22 \end{cases} \Rightarrow 2x = 24, x = 12; \quad 2y = 20, y = 10$. Пара $(12, 10)$ — решение.
3. Пара (4, 11): 4 — четное, 11 — нечетное. Четность разная, решений нет.

Ответ: $(12, 10)$.