Страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Из каких шагов состоит процесс решения системы способом подстановки? Обозначьте каждый из них в решении системы, рассмотренной во фрагменте 1.

Метод подстановки — это один из основных алгоритмических способов решения систем уравнений. Он заключается в последовательном выполнении нескольких шагов. Поскольку "фрагмент 1", упомянутый в вопросе, не предоставлен, мы разберем этот метод на примере следующей системы уравнений:

$$ \begin{cases} x - 2y = 3 \\ 3x + y = 13 \end{cases} $$

Шаг 1: Выразить одну переменную через другую.

На первом этапе необходимо выбрать одно из уравнений системы и выразить из него одну переменную через другую. Рекомендуется выбирать то уравнение и ту переменную, где коэффициент равен 1 или -1, так как это упрощает вычисления и помогает избежать появления дробей. В нашем примере удобнее всего выразить переменную $y$ из второго уравнения ($3x + y = 13$):

$$y = 13 - 3x$$

Также можно было выразить $x$ из первого уравнения: $x = 3 + 2y$. Результат будет тем же.

Шаг 2: Подставить полученное выражение в другое уравнение.

Теперь нужно подставить выражение, полученное на первом шаге ($y = 13 - 3x$), в другое уравнение системы. В нашем случае это первое уравнение ($x - 2y = 3$). Этот шаг является ключевым в методе, так как он позволяет перейти от системы с двумя переменными к одному уравнению с одной переменной.

$$x - 2(13 - 3x) = 3$$

Шаг 3: Решить полученное уравнение с одной переменной.

Уравнение, полученное на предыдущем шаге, содержит только одну переменную ($x$), и его необходимо решить, используя стандартные алгебраические преобразования. Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и найдем корень.

$$x - 26 + 6x = 3$$

$$7x - 26 = 3$$

$$7x = 29$$

$$x = \frac{29}{7}$$

(Для большей наглядности давайте вернемся и выберем другой путь, который приведет к целочисленному ответу, как это часто бывает в учебных задачах. Возьмем систему:$$\begin{cases}x - 2y = 3 \\5x + y = 4\end{cases}$$Шаг 1: Из второго уравнения $y = 4 - 5x$.Шаг 2: Подставляем в первое: $x - 2(4 - 5x) = 3$.Шаг 3: Решаем: $x - 8 + 10x = 3 \implies 11x = 11 \implies x = 1$. Этот пример лучше.)

Давайте воспользуемся более удачным примером для демонстрации. Пусть наша система будет:$$\begin{cases}x + 2y = 7 \\3x - y = 0\end{cases}$$Шаг 1: Из второго уравнения выражаем $y$: $y = 3x$.
Шаг 2: Подставляем в первое уравнение: $x + 2(3x) = 7$.
Шаг 3: Решаем полученное уравнение:$$x + 6x = 7$$$$7x = 7$$$$x = 1$$Мы нашли значение одной из переменных.

Шаг 4: Найти значение второй переменной.

После того как значение одной переменной найдено ($x = 1$), необходимо найти значение второй. Для этого нужно подставить найденное значение в выражение, полученное на первом шаге ($y = 3x$).

$$y = 3 \cdot 1$$

$$y = 3$$

Шаг 5: Записать ответ.

Решением системы является пара значений переменных $(x; y)$. Мы получили $x=1$ и $y=3$. Ответ записывается в виде упорядоченной пары чисел.

Решение нашей системы: $(1; 3)$.

Ответ: Процесс решения системы уравнений методом подстановки состоит из следующих шагов:

1. Выбрать одно из уравнений системы и выразить из него одну переменную через другую.
2. Подставить полученное на первом шаге выражение в другое (неиспользованное) уравнение системы.
3. Решить получившееся уравнение с одной переменной, найдя ее значение.
4. Подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге, и вычислить значение второй переменной.
5. Записать найденную пару значений переменных в качестве ответа.

Какую подстановку вы бы предложили для решения системы:

а) $\begin{cases} 3x + y = 4 \\ 2x - 5y = -3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 10x - 15y = 91 \\ x - 6y = 10; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ x + y = 2? \end{cases}$

В каждом случае запишите первые два шага решения (фрагменты 1 и 2).

а) Для решения данной системы уравнений предлагается использовать метод подстановки. Наиболее удобной является подстановка, в которой переменная $y$ выражается из первого уравнения, поскольку её коэффициент равен 1.

Фрагмент 1 (первый шаг): Выражаем $y$ из первого уравнения $3x + y = 4$.

$y = 4 - 3x$

Фрагмент 2 (второй шаг): Подставляем полученное выражение для $y$ во второе уравнение $2x - 5y = -3$.

$2x - 5(4 - 3x) = -3$

Ответ: Предлагается подстановка $y = 4 - 3x$. Первые два шага решения: 1) из первого уравнения выразить $y = 4 - 3x$; 2) подставить это выражение во второе уравнение, получив $2x - 5(4 - 3x) = -3$.

б) В этой системе наиболее удобной подстановкой будет выражение переменной $x$ из второго уравнения, так как её коэффициент равен 1.

Фрагмент 1 (первый шаг): Выражаем $x$ из второго уравнения $x - 6y = 10$.

$x = 10 + 6y$

Фрагмент 2 (второй шаг): Подставляем полученное выражение для $x$ в первое уравнение $10x - 15y = 91$.

$10(10 + 6y) - 15y = 91$

Ответ: Предлагается подстановка $x = 10 + 6y$. Первые два шага решения: 1) из второго уравнения выразить $x = 10 + 6y$; 2) подставить это выражение в первое уравнение, получив $10(10 + 6y) - 15y = 91$.

в) Данная система является нелинейной, но для её решения также удобно применить метод подстановки. Следует выразить одну из переменных из второго, линейного, уравнения.

Фрагмент 1 (первый шаг): Выразим переменную $y$ из второго уравнения $x + y = 2$ (также можно было выразить и $x$).

$y = 2 - x$

Фрагмент 2 (второй шаг): Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение $x^2 + y^2 = 9$.

$x^2 + (2 - x)^2 = 9$

Ответ: Предлагается подстановка $y = 2 - x$. Первые два шага решения: 1) из второго уравнения выразить $y = 2 - x$; 2) подставить это выражение в первое уравнение, получив $x^2 + (2 - x)^2 = 9$.

1) Что служит графиком уравнения $x^2 + y^2 = r^2$, где $r > 0$ (фрагмент 3)?

2) Запишите уравнение окружности с центром в начале координат и с радиусом, равным 4.

3) Сделайте схематический рисунок и определите, имеет ли решения система

уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ y = 2x - 1,5 \end{cases}$ и если имеет, то сколько.

1) Уравнение вида $x^2 + y^2 = r^2$, где $r > 0$, является каноническим уравнением окружности. Графиком такого уравнения служит окружность с центром в начале координат, то есть в точке $(0, 0)$, и радиусом, равным $r$.
Ответ: Окружность с центром в начале координат и радиусом $r$.

2) Общее уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид $x^2 + y^2 = r^2$, где $r$ — это радиус окружности. По условию, радиус равен 4. Подставим это значение в уравнение:
$x^2 + y^2 = 4^2$
$x^2 + y^2 = 16$
Ответ: $x^2 + y^2 = 16$.

3) Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ y = 2x - 1,5 \end{cases}$
Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков уравнений.
Первое уравнение $x^2 + y^2 = 10$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{10} \approx 3,16$.
Второе уравнение $y = 2x - 1,5$ задает прямую. Для ее построения найдем две точки. Например:
- если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 - 1,5 = -1,5$. Точка $(0; -1,5)$.
- если $y = 0$, то $0 = 2x - 1,5$, откуда $2x = 1,5$ и $x = 0,75$. Точка $(0,75; 0)$.
Схематический рисунок представляет собой окружность с центром в начале координат, пересекающую оси в точках $(\pm\sqrt{10}, 0)$ и $(0, \pm\sqrt{10})$, и прямую, проходящую через точки $(0; -1,5)$ и $(0,75; 0)$. Видно, что прямая пересекает окружность.
Чтобы точно определить количество решений, решим систему алгебраически. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x^2 + (2x - 1,5)^2 = 10$
$x^2 + 4x^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1,5 + (1,5)^2 = 10$
$x^2 + 4x^2 - 6x + 2,25 = 10$
$5x^2 - 6x - 7,75 = 0$
Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7,75) = 36 + 20 \cdot 7,75 = 36 + 155 = 191$
Поскольку дискриминант $D = 191 > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Каждому значению $x$ будет соответствовать одно значение $y$. Следовательно, система имеет два решения, а графики пересекаются в двух точках.
Ответ: Да, система имеет два решения.

В системе двух уравнений с двумя переменными одно уравнение линейное, а другое – уравнение окружности с центром в начале координат. Сколько решений может иметь такая система? Проиллюстрируйте свои рассуждения рисунками.

Рассмотрим систему из двух уравнений с двумя переменными $x$ и $y$.

Первое уравнение — линейное, его общий вид: $ax + by + c = 0$. Графиком этого уравнения является прямая линия.

Второе уравнение — уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r$. Его вид: $x^2 + y^2 = r^2$.

Решения системы уравнений — это точки $(x, y)$, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Геометрически это соответствует точкам пересечения прямой и окружности на координатной плоскости. Количество решений системы равно количеству точек пересечения.

Существует три возможных случая взаимного расположения прямой и окружности.

Случай 1: Система не имеет решений (0 решений)

Это происходит, когда прямая не пересекает окружность и не касается ее. То есть у них нет общих точек. Алгебраически это означает, что расстояние от центра окружности (точки $(0,0)$) до прямой больше, чем радиус окружности $r$.

Ответ: 0 решений.

Случай 2: Система имеет одно решение (1 решение)

Это происходит, когда прямая касается окружности ровно в одной точке. Такая прямая называется касательной к окружности. В этом случае расстояние от центра окружности до прямой равно ее радиусу $r$.

Ответ: 1 решение.

Случай 3: Система имеет два решения (2 решения)

Это происходит, когда прямая пересекает окружность в двух различных точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние от центра окружности до прямой меньше, чем ее радиус $r$.

Ответ: 2 решения.

Таким образом, система уравнений, состоящая из линейного уравнения и уравнения окружности с центром в начале координат, может иметь 0, 1 или 2 решения. Больше двух решений быть не может, так как прямая не может пересечь окружность более чем в двух точках.