Страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

669 a) Прибыль компании в этом году выросла на 200 000 р. Это на 25% больше, чем прибыль в прошлом году. Найдите прибыль компании за прошлый год и за этот год.
б) Электрочайник на 60 р. дешевле кофеварки, а кофеварка на 30% дороже электрочайника. Сколько стоит электрочайник и сколько стоит кофеварка?

а)

Пусть $x$ р. — это прибыль компании за прошлый год. Согласно условию, прибыль в этом году выросла на 200 000 р., следовательно, прибыль в этом году составляет $x + 200\ 000$ р.

Также сказано, что прибыль этого года ("Это") на 25% больше, чем прибыль прошлого года. Это означает, что прибыль этого года составляет $100\% + 25\% = 125\%$ от прибыли прошлого года. В виде десятичной дроби это $1.25$. Таким образом, прибыль в этом году также равна $1.25x$.

Мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для прибыли этого года: $x + 200\ 000 = 1.25x$

Решим это уравнение: $200\ 000 = 1.25x - x$ $200\ 000 = 0.25x$ $x = \frac{200\ 000}{0.25}$ $x = 800\ 000$

Итак, прибыль компании за прошлый год составила 800 000 р. Теперь найдем прибыль за этот год: $800\ 000 + 200\ 000 = 1\ 000\ 000$ р.

Проверка: Прибыль этого года ($1\ 000\ 000$ р.) должна быть на 25% больше прибыли прошлого года ($800\ 000$ р.). $800\ 000 \times 1.25 = 1\ 000\ 000$. Условие выполняется.

Ответ: прибыль за прошлый год — 800 000 р., прибыль за этот год — 1 000 000 р.

б)

Пусть $x$ р. — это стоимость электрочайника. Из условия известно, что кофеварка на 30% дороже электрочайника. Это значит, что ее цена составляет $100\% + 30\% = 130\%$ от цены чайника. Стоимость кофеварки можно выразить как $1.3x$.

Также в условии сказано, что электрочайник на 60 р. дешевле кофеварки, что равносильно тому, что кофеварка на 60 р. дороже электрочайника. Это можно записать как: Стоимость кофеварки = $x + 60$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для стоимости кофеварки: $1.3x = x + 60$

Решим полученное уравнение: $1.3x - x = 60$ $0.3x = 60$ $x = \frac{60}{0.3}$ $x = 200$

Таким образом, стоимость электрочайника составляет 200 р. Найдем стоимость кофеварки, подставив значение $x$ в одно из выражений: Стоимость кофеварки = $200 + 60 = 260$ р.

Проверка: Электрочайник (200 р.) на 60 р. дешевле кофеварки (260 р.)? Да, $260 - 200 = 60$. Кофеварка на 30% дороже электрочайника? Да, $200 \times 0.30 = 60$, и $200 + 60 = 260$. Условия выполняются.

Ответ: электрочайник стоит 200 р., а кофеварка — 260 р.

670 a) Клиент банка внёс 12000 р. на два разных вклада. По одному из них банк выплачивает 8% в год, по другому — 10% в год. Через год внесённая сумма увеличилась на 1080 р. Сколько рублей внёс клиент на каждый из вкладов?

б) В выборах школьного совета участвовало 900 учащихся. За кандидата А проголосовало 15% девочек и 20% мальчиков, всего 159 учащихся. Сколько девочек и сколько мальчиков участвовало в выборах совета?

а)

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ рублей — это сумма, которую клиент внёс на первый вклад под 8% годовых, а $y$ рублей — сумма, которую он внёс на второй вклад под 10% годовых.

Общая сумма, внесённая на два вклада, составляет 12000 рублей. Это даёт нам первое уравнение:

$x + y = 12000$

Доход (проценты) по первому вкладу за год составил $8\%$ от $x$, то есть $0.08x$ рублей. Доход по второму вкладу составил $10\%$ от $y$, то есть $0.10y$ рублей. Общий доход за год равен 1080 рублей. Это даёт нам второе уравнение:

$0.08x + 0.10y = 1080$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x + y = 12000 \\ 0.08x + 0.10y = 1080 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 12000 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$0.08x + 0.10(12000 - x) = 1080$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$0.08x + 1200 - 0.10x = 1080$

$-0.02x = 1080 - 1200$

$-0.02x = -120$

$x = \frac{-120}{-0.02} = 6000$

Таким образом, на первый вклад (под 8%) было внесено 6000 рублей.

Теперь найдём сумму второго вклада, зная $x$:

$y = 12000 - x = 12000 - 6000 = 6000$

На второй вклад (под 10%) также было внесено 6000 рублей.

Ответ: на каждый из вкладов клиент внёс по 6000 рублей.

б)

Для решения этой задачи также составим систему уравнений. Пусть $g$ — это количество девочек, участвовавших в выборах, а $b$ — количество мальчиков.

Всего в выборах участвовало 900 учащихся. Отсюда получаем первое уравнение:

$g + b = 900$

За кандидата А проголосовало $15\%$ девочек ($0.15g$) и $20\%$ мальчиков ($0.20b$). Общее число голосов за кандидата А — 159. Отсюда получаем второе уравнение:

$0.15g + 0.20b = 159$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} g + b = 900 \\ 0.15g + 0.20b = 159 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$:

$b = 900 - g$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$0.15g + 0.20(900 - g) = 159$

Решим полученное уравнение относительно $g$:

$0.15g + 180 - 0.20g = 159$

$-0.05g = 159 - 180$

$-0.05g = -21$

$g = \frac{-21}{-0.05} = 420$

Следовательно, в выборах участвовало 420 девочек.

Теперь найдем количество мальчиков:

$b = 900 - g = 900 - 420 = 480$

В выборах участвовало 480 мальчиков.

Ответ: в выборах совета участвовало 420 девочек и 480 мальчиков.

671 Какая из следующих ситуаций возможна, а какая невозможна?

а) Для двух классов купили одинаковые тетради и шариковые ручки. За 60 тетрадей и 20 ручек для одного класса заплатили 420 р., а за 75 тетрадей и 25 ручек для другого класса заплатили 600 р.

б) В школе 650 учащихся. К концу года число девочек увеличилось на 10%, а число мальчиков — на 20%, и всего стало 750 учащихся.

а)

Для анализа данной ситуации введем переменные. Пусть $x$ — цена одной тетради в рублях, а $y$ — цена одной шариковой ручки в рублях. Поскольку тетради и ручки одинаковые для двух классов, их цены также одинаковы.

Для первого класса было куплено 60 тетрадей и 20 ручек, и за них заплатили 420 рублей. Это можно выразить уравнением: $60x + 20y = 420$

Для второго класса было куплено 75 тетрадей и 25 ручек, и за них заплатили 600 рублей. Это можно выразить вторым уравнением: $75x + 25y = 600$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} 60x + 20y = 420 \\ 75x + 25y = 600 \end{cases} $$

Чтобы проверить, возможна ли такая ситуация, нужно выяснить, имеет ли эта система решение. Упростим оба уравнения. Разделим все члены первого уравнения на

672 a) Произведение двух чисел равно 84, а их сумма равна 20. Найдите эти числа.

б) Произведение двух положительных чисел равно 120, и одно из них на 7 больше другого. Найдите эти числа.

а)

Пусть искомые числа — это $x$ и $y$. Согласно условию задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Произведение чисел равно 84: $x \cdot y = 84$

2. Сумма чисел равна 20: $x + y = 20$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 20 - x$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

$x(20 - x) = 84$

Раскроем скобки:

$20x - x^2 = 84$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 20x + 84 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 400 - 336 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{20 + \sqrt{64}}{2} = \frac{20 + 8}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$x_2 = \frac{20 - \sqrt{64}}{2} = \frac{20 - 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Мы нашли возможные значения для одного из чисел. Теперь найдем соответствующие значения для второго числа $y$:

Если $x_1 = 14$, то $y_1 = 20 - 14 = 6$.

Если $x_2 = 6$, то $y_2 = 20 - 6 = 14$.

В обоих случаях мы получаем пару чисел 6 и 14. Проверим их:

Сумма: $6 + 14 = 20$.

Произведение: $6 \cdot 14 = 84$.

Оба условия задачи выполняются.

Ответ: 6 и 14.

б)

Пусть меньшее из двух положительных чисел равно $x$. По условию, другое число на 7 больше, значит, оно равно $x + 7$.

Их произведение равно 120. Составим уравнение на основе этого условия:

$x(x + 7) = 120$

Раскроем скобки:

$x^2 + 7x = 120$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 7x - 120 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 49 + 480 = 529$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{529}}{2} = \frac{-7 + 23}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{529}}{2} = \frac{-7 - 23}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Согласно условию, числа должны быть положительными, поэтому корень $x_2 = -15$ не подходит.

Следовательно, меньшее число равно 8. Найдем второе число:

$x + 7 = 8 + 7 = 15$

Искомые числа — это 8 и 15. Проверим их:

Числа положительные: 8 > 0 и 15 > 0.

Произведение: $8 \cdot 15 = 120$.

Разница: $15 - 8 = 7$.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: 8 и 15.

673 а) В парке под аттракционы отвели участок прямоугольной формы площадью $720 \text{ м}^2$. Длина ограждения этого участка 108 м. Найдите размеры участка.

б) Площадь газона прямоугольной формы $375 \text{ м}^2$. Одна из его сторон на 10 м больше другой. Найдите размеры газона.

а)

Пусть длина прямоугольного участка равна $a$ метров, а ширина — $b$ метров.

Площадь участка ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию, $S = 720 \text{ м}^2$.
$a \cdot b = 720$

Длина ограждения — это периметр участка ($P$), который вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию, $P = 108 \text{ м}$.
$2(a + b) = 108$

Получаем систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} a \cdot b = 720 \\ 2(a + b) = 108 \end{cases} $

Решим эту систему. Из второго уравнения найдем сумму сторон:
$a + b = \frac{108}{2}$
$a + b = 54$

Выразим одну переменную через другую, например, $a = 54 - b$.

Подставим это выражение в первое уравнение:
$(54 - b) \cdot b = 720$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$54b - b^2 = 720$
$b^2 - 54b + 720 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = (-54)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 720 = 2916 - 2880 = 36$
$\sqrt{D} = 6$

Найдем возможные значения для $b$:
$b_1 = \frac{54 + 6}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$b_2 = \frac{54 - 6}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Если одна сторона равна 30 м, то вторая $a = 54 - 30 = 24$ м.
Если одна сторона равна 24 м, то вторая $a = 54 - 24 = 30$ м.
В обоих случаях размеры участка одинаковы.

Ответ: размеры участка 24 м и 30 м.

б)

Пусть меньшая сторона газона равна $x$ метров.
Тогда, по условию, большая сторона равна $(x + 10)$ метров.

Площадь газона ($S$) равна произведению его сторон:
$S = x \cdot (x + 10)$

По условию, площадь равна $375 \text{ м}^2$. Составим и решим уравнение:
$x(x + 10) = 375$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 + 10x = 375$
$x^2 + 10x - 375 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-375) = 100 + 1500 = 1600$
$\sqrt{D} = 40$

Найдем возможные значения для $x$:
$x_1 = \frac{-10 + 40}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-10 - 40}{2} = \frac{-50}{2} = -25$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, значение $x = -25$ не является решением задачи.
Следовательно, меньшая сторона газона равна 15 м.

Тогда большая сторона равна $15 + 10 = 25$ м.

Ответ: размеры газона 15 м и 25 м.

674 а) Периметр прямоугольника 28 см, а его диагональ равна 10 см. Найдите стороны прямоугольника.

б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его периметр равен 30 см. Найдите катеты треугольника.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию задачи, $P = 28$ см, следовательно, мы можем составить первое уравнение:
$2(a+b) = 28$
$a+b = 14$
Диагональ прямоугольника вместе с двумя его сторонами образует прямоугольный треугольник, где стороны являются катетами, а диагональ — гипотенузой. По теореме Пифагора, $a^2 + b^2 = d^2$, где $d$ — длина диагонали. По условию, $d=10$ см. Составим второе уравнение:
$a^2 + b^2 = 10^2$
$a^2 + b^2 = 100$
Мы получили систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases} $
Для решения системы выразим $b$ из первого уравнения: $b = 14 - a$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$a^2 + (14 - a)^2 = 100$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 196 - 28a + a^2 = 100$
$2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0$
$2a^2 - 28a + 96 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$a^2 - 14a + 48 = 0$
Это квадратное уравнение можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна 14, а их произведение равно 48. Подбором находим корни: $a_1 = 6$ и $a_2 = 8$.
Если сторона $a = 6$ см, то вторая сторона $b = 14 - 6 = 8$ см.
Если сторона $a = 8$ см, то вторая сторона $b = 14 - 8 = 6$ см.
В обоих случаях стороны прямоугольника одни и те же.
Ответ: 6 см и 8 см.

б) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.
По условию задачи, гипотенуза $c = 13$ см, а периметр $P = 30$ см.
Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.
Подставим известные значения в формулу периметра, чтобы найти сумму катетов:
$a + b + 13 = 30$
$a + b = 30 - 13$
$a + b = 17$
Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника справедливо равенство: $a^2 + b^2 = c^2$.
Подставим известное значение гипотенузы:
$a^2 + b^2 = 13^2$
$a^2 + b^2 = 169$
Мы получили систему уравнений, аналогичную предыдущей задаче:
$ \begin{cases} a + b = 17 \\ a^2 + b^2 = 169 \end{cases} $
Выразим $b$ из первого уравнения: $b = 17 - a$.
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
$a^2 + (17 - a)^2 = 169$
Раскроем скобки и решим уравнение:
$a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169$
$2a^2 - 34a + 289 - 169 = 0$
$2a^2 - 34a + 120 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a^2 - 17a + 60 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней должна быть равна 17, а их произведение — 60. Этими числами являются 5 и 12.
Значит, корни уравнения: $a_1 = 5$ и $a_2 = 12$.
Если один катет $a = 5$ см, то второй катет $b = 17 - 5 = 12$ см.
Если катет $a = 12$ см, то $b = 17 - 12 = 5$ см.
Таким образом, длины катетов не зависят от выбора переменной.
Ответ: 5 см и 12 см.