Номер 674, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 674, страница 207.

Условие.

674 а) Периметр прямоугольника 28 см, а его диагональ равна 10 см. Найдите стороны прямоугольника.

б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его периметр равен 30 см. Найдите катеты треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию задачи, $P = 28$ см, следовательно, мы можем составить первое уравнение:
$2(a+b) = 28$
$a+b = 14$
Диагональ прямоугольника вместе с двумя его сторонами образует прямоугольный треугольник, где стороны являются катетами, а диагональ — гипотенузой. По теореме Пифагора, $a^2 + b^2 = d^2$, где $d$ — длина диагонали. По условию, $d=10$ см. Составим второе уравнение:
$a^2 + b^2 = 10^2$
$a^2 + b^2 = 100$
Мы получили систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases} $
Для решения системы выразим $b$ из первого уравнения: $b = 14 - a$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$a^2 + (14 - a)^2 = 100$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 196 - 28a + a^2 = 100$
$2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0$
$2a^2 - 28a + 96 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$a^2 - 14a + 48 = 0$
Это квадратное уравнение можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна 14, а их произведение равно 48. Подбором находим корни: $a_1 = 6$ и $a_2 = 8$.
Если сторона $a = 6$ см, то вторая сторона $b = 14 - 6 = 8$ см.
Если сторона $a = 8$ см, то вторая сторона $b = 14 - 8 = 6$ см.
В обоих случаях стороны прямоугольника одни и те же.
Ответ: 6 см и 8 см.

б) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.
По условию задачи, гипотенуза $c = 13$ см, а периметр $P = 30$ см.
Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.
Подставим известные значения в формулу периметра, чтобы найти сумму катетов:
$a + b + 13 = 30$
$a + b = 30 - 13$
$a + b = 17$
Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника справедливо равенство: $a^2 + b^2 = c^2$.
Подставим известное значение гипотенузы:
$a^2 + b^2 = 13^2$
$a^2 + b^2 = 169$
Мы получили систему уравнений, аналогичную предыдущей задаче:
$ \begin{cases} a + b = 17 \\ a^2 + b^2 = 169 \end{cases} $
Выразим $b$ из первого уравнения: $b = 17 - a$.
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
$a^2 + (17 - a)^2 = 169$
Раскроем скобки и решим уравнение:
$a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169$
$2a^2 - 34a + 289 - 169 = 0$
$2a^2 - 34a + 120 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a^2 - 17a + 60 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней должна быть равна 17, а их произведение — 60. Этими числами являются 5 и 12.
Значит, корни уравнения: $a_1 = 5$ и $a_2 = 12$.
Если один катет $a = 5$ см, то второй катет $b = 17 - 5 = 12$ см.
Если катет $a = 12$ см, то $b = 17 - 12 = 5$ см.
Таким образом, длины катетов не зависят от выбора переменной.
Ответ: 5 см и 12 см.