Номер 675, страница 208 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 675, страница 208.

Условие.

675 Туристский маршрут от станции к озеру идёт сначала в гору, а затем с горы. При подъёме туристы идут со скоростью $3 \text{ км/ч}$, а при спуске — $6 \text{ км/ч}$. Путь от станции к озеру занимает $3,5 \text{ ч}$, а обратный путь — $4 \text{ ч}$. Найдите длину маршрута.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введём переменные. Пусть длина участка маршрута, идущего в гору от станции к озеру, равна $x$ км, а длина участка, идущего с горы, равна $y$ км. Тогда общая длина маршрута в одну сторону составляет $(x + y)$ км.

Согласно условию, скорость туристов при подъёме в гору составляет 3 км/ч, а при спуске с горы — 6 км/ч.

Время в пути от станции к озеру складывается из времени, затраченного на подъём, и времени, затраченного на спуск. Время вычисляется по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость. Таким образом, время на подъём составляет $\frac{x}{3}$ ч, а время на спуск — $\frac{y}{6}$ ч. Общее время в пути до озера — 3,5 часа. Составим первое уравнение:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 3.5$

На обратном пути от озера к станции участки меняются ролями: участок, который был спуском (длиной $y$), становится подъёмом, а участок, который был подъёмом (длиной $x$), становится спуском. Время на подъём на обратном пути составит $\frac{y}{3}$ ч, а время на спуск — $\frac{x}{6}$ ч. Общее время на обратный путь — 4 часа. Составим второе уравнение:

$\frac{y}{3} + \frac{x}{6} = 4$

Получим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 3.5 \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 4 \end{cases}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим оба уравнения на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6):

$\begin{cases} 6 \cdot (\frac{x}{3} + \frac{y}{6}) = 6 \cdot 3.5 \\ 6 \cdot (\frac{x}{6} + \frac{y}{3}) = 6 \cdot 4 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x + y = 21 \\ x + 2y = 24 \end{cases}$

Нам необходимо найти длину маршрута, то есть величину $x + y$. Сложим два полученных уравнения:

$(2x + y) + (x + 2y) = 21 + 24$

Приведём подобные слагаемые:

$3x + 3y = 45$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3(x + y) = 45$

Теперь найдём значение $(x+y)$, разделив обе части уравнения на 3:

$x + y = \frac{45}{3}$

$x + y = 15$

Таким образом, длина маршрута от станции к озеру составляет 15 км.

Ответ: 15 км.