Номер 682, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 682, страница 209.

Условие.

682 Города $A$, $B$ и $C$ расположены не на одной прямой. Путь из $A$ в $B$ через $C$ на 5 км длиннее, чем прямой путь из $A$ в $B$. Путь из $A$ в $C$ через $B$ в 4 раза длиннее, чем прямой путь из $A$ в $C$. Путь из $B$ в $C$ через $A$ равен 85 км. Найдите расстояние между каждыми двумя городами.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменные, обозначающие прямые расстояния между городами:

Пусть $AB$ — расстояние между городами A и B.
Пусть $BC$ — расстояние между городами B и C.
Пусть $AC$ — расстояние между городами A и C.

Так как города не расположены на одной прямой, они образуют треугольник, и расстояния $AB$, $BC$, $AC$ являются длинами его сторон.

Основываясь на условиях задачи, составим систему уравнений:

1. Путь из А в В через С на 5 км длиннее, чем прямой путь из А в В.
Путь из А в В через С — это сумма расстояний $AC + BC$. Прямой путь — это $AB$.
Получаем первое уравнение:
$AC + BC = AB + 5$

2. Путь из А в С через В в 4 раза длиннее, чем прямой путь из А в С.
Путь из А в С через В — это сумма расстояний $AB + BC$. Прямой путь — это $AC$.
Получаем второе уравнение:
$AB + BC = 4 \cdot AC$

3. Путь из В в С через А равен 85 км.
Путь из В в С через А — это сумма расстояний $AB + AC$.
Получаем третье уравнение:
$AB + AC = 85$

Таким образом, мы имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

$ \begin{cases} AC + BC = AB + 5 \\ AB + BC = 4 \cdot AC \\ AB + AC = 85 \end{cases} $

Начнем решать систему. Из третьего уравнения выразим $AB$ через $AC$:

$AB = 85 - AC$

Подставим это выражение в первое и второе уравнения.

Подстановка в первое уравнение:
$AC + BC = (85 - AC) + 5$
$AC + BC = 90 - AC$
$BC = 90 - 2 \cdot AC$

Подстановка во второе уравнение:
$(85 - AC) + BC = 4 \cdot AC$
$BC = 4 \cdot AC + AC - 85$
$BC = 5 \cdot AC - 85$

Теперь у нас есть два выражения для $BC$. Приравняем их, чтобы найти $AC$:

$90 - 2 \cdot AC = 5 \cdot AC - 85$
$90 + 85 = 5 \cdot AC + 2 \cdot AC$
$175 = 7 \cdot AC$
$AC = \frac{175}{7}$
$AC = 25$

Итак, расстояние между городами A и C равно 25 км.

Теперь, зная $AC$, мы можем найти остальные расстояния.

Найдем $AB$ из третьего уравнения:
$AB = 85 - AC = 85 - 25 = 60$
Расстояние между городами A и B равно 60 км.

Найдем $BC$, используя одно из полученных для него выражений, например $BC = 90 - 2 \cdot AC$ :
$BC = 90 - 2 \cdot 25 = 90 - 50 = 40$
Расстояние между городами B и C равно 40 км.

Проверим выполнение неравенства треугольника, чтобы убедиться, что города не лежат на одной прямой:

$AB + BC > AC \Rightarrow 60 + 40 > 25 \Rightarrow 100 > 25$ (Верно)
$AB + AC > BC \Rightarrow 60 + 25 > 40 \Rightarrow 85 > 40$ (Верно)
$BC + AC > AB \Rightarrow 40 + 25 > 60 \Rightarrow 65 > 60$ (Верно)

Все условия задачи выполнены.

Ответ: расстояние между городами A и B составляет 60 км, расстояние между городами B и C — 40 км, расстояние между городами A и C — 25 км.