Номер 3, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 4.7. Задачи на координатной плоскости. Глава 4. Системы уравнений - номер 3, страница 211.

Условие.

1) В чём состоит приём, использованный для решения задачи 3?

2) Решите эту же задачу, вычислив сначала координаты точки пересечения второй и третьей из приведённых прямых.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Приём, использованный для решения задачи 3, заключается в применении условия пересечения трёх прямых в одной точке. Для трёх прямых на плоскости, заданных общими уравнениями:

$A_1x + B_1y + C_1 = 0$

$A_2x + B_2y + C_2 = 0$

$A_3x + B_3y + C_3 = 0$

...необходимым и достаточным условием их пересечения в одной точке (при условии, что никакие две из них не параллельны) является равенство нулю определителя, составленного из их коэффициентов.

Математически это условие выглядит так: $$ \begin{vmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{vmatrix} = 0 $$

Суть приёма: составить этот определитель для данных в задаче трёх прямых, приравнять его к нулю и решить полученное уравнение относительно неизвестного параметра. Этот способ позволяет найти искомое значение, не вычисляя координаты точки пересечения.

Ответ: Использован приём, основанный на условии пересечения трёх прямых в одной точке: определитель, составленный из коэффициентов их уравнений, должен быть равен нулю.

2)

Поскольку условие исходной задачи 3 не предоставлено, для демонстрации метода решения предположим, что она состояла в нахождении параметра $a$, при котором следующие три прямые пересекаются в одной точке:

Прямая 1: $ax - 2y - 1 = 0$

Прямая 2: $x - y - 1 = 0$

Прямая 3: $2x + 3y - 12 = 0$

Следуя инструкции, сначала найдём координаты точки пересечения второй и третьей прямых, решив систему уравнений:

$$\begin{cases} x - y - 1 = 0 \\ 2x + 3y - 12 = 0\end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 1$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(y + 1) + 3y - 12 = 0$

$2y + 2 + 3y - 12 = 0$

$5y - 10 = 0$

$y = 2$

Теперь, зная $y$, найдём $x$:

$x = y + 1 = 2 + 1 = 3$

Координаты точки пересечения второй и третьей прямых — $(3, 2)$.

Для того чтобы все три прямые пересекались в одной точке, эта точка должна удовлетворять и уравнению первой прямой. Подставим координаты $(3, 2)$ в уравнение $ax - 2y - 1 = 0$:

$a \cdot 3 - 2 \cdot 2 - 1 = 0$

$3a - 4 - 1 = 0$

$3a - 5 = 0$

$3a = 5$

$a = \frac{5}{3}$

Ответ: $a = \frac{5}{3}$.