Номер 683, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 683, страница 209.

Условие.

683 Салат приготовили из помидоров по 40 р. за килограмм, огурцов по 20 р. за килограмм и перца по 70 р. за килограмм. Получили 8 кг салата по 4 р. за 100 г. Сколько помидоров, огурцов и перца взято для салата, если известно, что масса каждого продукта выражается целым числом килограммов?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1. Определение общей стоимости салата

Сначала найдем цену одного килограмма салата. В условии сказано, что 100 грамм салата стоят 4 рубля. Поскольку в одном килограмме 1000 грамм ($1000 = 10 \times 100$), то стоимость 1 кг салата будет в 10 раз выше:

$4 \text{ руб./100 г} \times 10 = 40 \text{ руб./кг}$

Всего приготовили 8 кг салата. Теперь мы можем рассчитать общую стоимость всех ингредиентов:

$8 \text{ кг} \times 40 \text{ руб./кг} = 320 \text{ рублей}$

2. Составление системы уравнений

Обозначим массу каждого продукта переменной. Пусть:

• $x$ — масса помидоров в кг,
• $y$ — масса огурцов в кг,
• $z$ — масса перца в кг.

По условию задачи, масса каждого продукта выражается целым числом, то есть $x, y, z$ — целые и, очевидно, положительные числа.

Общая масса всех продуктов равна массе салата, что дает нам первое уравнение:

$x + y + z = 8$

Общая стоимость всех продуктов равна 320 рублей. Используя цены на каждый продукт, составим второе уравнение:

$40x + 20y + 70z = 320$

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Для удобства упростим второе уравнение, разделив все его члены на 10:

$4x + 2y + 7z = 32$

Теперь решим систему:

$ \begin{cases} x + y + z = 8 \\ 4x + 2y + 7z = 32 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 8 - x - z$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$4x + 2(8 - x - z) + 7z = 32$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4x + 16 - 2x - 2z + 7z = 32$

$2x + 5z + 16 = 32$

$2x + 5z = 32 - 16$

$2x + 5z = 16$

Теперь нам нужно найти целые положительные решения для $x$ и $z$. Из уравнения $2x = 16 - 5z$ видно, что правая часть ($16 - 5z$) должна быть четным положительным числом. Это значит, что $5z$ должно быть четным, а так как 5 — нечетное число, то $z$ обязательно должно быть четным числом.

Проверим возможные четные значения для $z$, помня, что $x, y, z$ должны быть положительными.

• Если $z = 2$ (минимальное положительное четное число):
  $2x + 5(2) = 16$
  $2x + 10 = 16$
  $2x = 6$
  $x = 3$
  Теперь найдем $y$:
  $y = 8 - x - z = 8 - 3 - 2 = 3$
  Все значения ($x=3, y=3, z=2$) — целые и положительные. Это решение подходит.
• Если $z = 4$:
  $2x + 5(4) = 16$
  $2x + 20 = 16$
  $2x = -4$
  $x = -2$
  Это решение не подходит, так как масса не может быть отрицательной.

При больших значениях $z$ переменная $x$ будет становиться еще более отрицательной. Таким образом, существует только один набор целых положительных чисел, удовлетворяющий условиям задачи.

Ответ: для салата взяли 3 кг помидоров, 3 кг огурцов и 2 кг перца.