Страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

680 a) Междугородный автобус проехал от одного города до другого за $17 \text{ ч}$. Некоторое время он ехал со скоростью $35 \text{ км/ч}$, а остальную часть пути — со скоростью $55 \text{ км/ч}$. Определите, сколько часов он ехал со скоростью $35 \text{ км/ч}$ и сколько со скоростью $55 \text{ км/ч}$, если его средняя скорость была $50 \text{ км/ч}$.

б) Автомобиль затратил $5 \text{ ч}$ на путь от одного города до другого. Часть пути он ехал со скоростью $70 \text{ км/ч}$, а часть пути со скоростью $90 \text{ км/ч}$, и $1 \text{ ч}$ был затрачен на остановку. Сколько времени он ехал со скоростью $70 \text{ км/ч}$ и сколько со скоростью $90 \text{ км/ч}$, если его средняя скорость была $60 \text{ км/ч}$?

а)

Обозначим за $t_1$ время, которое автобус ехал со скоростью $v_1 = 35$ км/ч, и за $t_2$ время, которое он ехал со скоростью $v_2 = 55$ км/ч.

Общее время в пути составляет 17 часов, следовательно, мы можем составить первое уравнение:$t_1 + t_2 = 17$

Средняя скорость $v_{ср}$ вычисляется как отношение всего пройденного пути $S$ ко всему времени движения $T$.$v_{ср} = \frac{S}{T}$

Весь путь $S$ складывается из двух участков: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 35t_1$ и $S_2 = v_2 \cdot t_2 = 55t_2$.Таким образом, $S = 35t_1 + 55t_2$.

Подставим известные значения в формулу средней скорости:$50 = \frac{35t_1 + 55t_2}{17}$

Отсюда получаем второе уравнение: $35t_1 + 55t_2 = 50 \cdot 17$, или $35t_1 + 55t_2 = 850$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$$\begin{cases}t_1 + t_2 = 17 \\35t_1 + 55t_2 = 850\end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $t_2$: $t_2 = 17 - t_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:$35t_1 + 55(17 - t_1) = 850$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $t_1$:$35t_1 + 935 - 55t_1 = 850$$935 - 850 = 55t_1 - 35t_1$$85 = 20t_1$$t_1 = \frac{85}{20} = 4,25$ часа.

Теперь найдем $t_2$:$t_2 = 17 - 4,25 = 12,75$ часа.

Итак, автобус ехал 4,25 часа со скоростью 35 км/ч и 12,75 часа со скоростью 55 км/ч.

Ответ: автобус ехал 4,25 часа со скоростью 35 км/ч и 12,75 часа со скоростью 55 км/ч.

б)

Обозначим за $t_1$ время, которое автомобиль ехал со скоростью $v_1 = 70$ км/ч, и за $t_2$ время, которое он ехал со скоростью $v_2 = 90$ км/ч.

Общее время поездки составляет $T_{общ} = 5$ часов. Из этого времени 1 час был потрачен на остановку. Значит, время движения автомобиля $T_{движ}$ составляет:$T_{движ} = 5 - 1 = 4$ часа.

Таким образом, сумма времени движения на разных скоростях равна 4 часам:$t_1 + t_2 = 4$

Средняя скорость $v_{ср}$ вычисляется как отношение всего пройденного пути $S$ ко всему времени поездки $T_{общ}$ (включая остановку).$v_{ср} = \frac{S}{T_{общ}}$

Весь путь $S$ равен сумме расстояний, пройденных с разными скоростями: $S = v_1 \cdot t_1 + v_2 \cdot t_2 = 70t_1 + 90t_2$.

Подставим известные значения в формулу средней скорости:$60 = \frac{70t_1 + 90t_2}{5}$

Отсюда получаем второе уравнение: $70t_1 + 90t_2 = 60 \cdot 5$, или $70t_1 + 90t_2 = 300$.

Составим систему уравнений:$$\begin{cases}t_1 + t_2 = 4 \\70t_1 + 90t_2 = 300\end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $t_2$: $t_2 = 4 - t_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:$70t_1 + 90(4 - t_1) = 300$

Решим полученное уравнение:$70t_1 + 360 - 90t_1 = 300$$360 - 300 = 90t_1 - 70t_1$$60 = 20t_1$$t_1 = \frac{60}{20} = 3$ часа.

Теперь найдем $t_2$:$t_2 = 4 - 3 = 1$ час.

Следовательно, автомобиль ехал 3 часа со скоростью 70 км/ч и 1 час со скоростью 90 км/ч.

Ответ: автомобиль ехал 3 часа со скоростью 70 км/ч и 1 час со скоростью 90 км/ч.

681 Матери, дочери и бабушке вместе 105 лет. Матери и дочери вместе 45 лет, а бабушке и внучке вместе 70 лет. Сколько лет каждой?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие возраст каждого члена семьи. В задаче речь идет о трех людях: бабушке, матери и дочери (которая является внучкой для бабушки).
Пусть $Б$ – возраст бабушки.
Пусть $М$ – возраст матери.
Пусть $Д$ – возраст дочери.

Исходя из условий задачи, составим систему из трех уравнений:
1. Суммарный возраст всех троих — 105 лет: $М + Д + Б = 105$
2. Суммарный возраст матери и дочери — 45 лет: $М + Д = 45$
3. Суммарный возраст бабушки и внучки (дочери) — 70 лет: $Б + Д = 70$

682 Города $A$, $B$ и $C$ расположены не на одной прямой. Путь из $A$ в $B$ через $C$ на 5 км длиннее, чем прямой путь из $A$ в $B$. Путь из $A$ в $C$ через $B$ в 4 раза длиннее, чем прямой путь из $A$ в $C$. Путь из $B$ в $C$ через $A$ равен 85 км. Найдите расстояние между каждыми двумя городами.

Для решения задачи введем переменные, обозначающие прямые расстояния между городами:

Пусть $AB$ — расстояние между городами A и B.
Пусть $BC$ — расстояние между городами B и C.
Пусть $AC$ — расстояние между городами A и C.

Так как города не расположены на одной прямой, они образуют треугольник, и расстояния $AB$, $BC$, $AC$ являются длинами его сторон.

Основываясь на условиях задачи, составим систему уравнений:

1. Путь из А в В через С на 5 км длиннее, чем прямой путь из А в В.
Путь из А в В через С — это сумма расстояний $AC + BC$. Прямой путь — это $AB$.
Получаем первое уравнение:
$AC + BC = AB + 5$

2. Путь из А в С через В в 4 раза длиннее, чем прямой путь из А в С.
Путь из А в С через В — это сумма расстояний $AB + BC$. Прямой путь — это $AC$.
Получаем второе уравнение:
$AB + BC = 4 \cdot AC$

3. Путь из В в С через А равен 85 км.
Путь из В в С через А — это сумма расстояний $AB + AC$.
Получаем третье уравнение:
$AB + AC = 85$

Таким образом, мы имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

$ \begin{cases} AC + BC = AB + 5 \\ AB + BC = 4 \cdot AC \\ AB + AC = 85 \end{cases} $

Начнем решать систему. Из третьего уравнения выразим $AB$ через $AC$:

$AB = 85 - AC$

Подставим это выражение в первое и второе уравнения.

Подстановка в первое уравнение:
$AC + BC = (85 - AC) + 5$
$AC + BC = 90 - AC$
$BC = 90 - 2 \cdot AC$

Подстановка во второе уравнение:
$(85 - AC) + BC = 4 \cdot AC$
$BC = 4 \cdot AC + AC - 85$
$BC = 5 \cdot AC - 85$

Теперь у нас есть два выражения для $BC$. Приравняем их, чтобы найти $AC$:

$90 - 2 \cdot AC = 5 \cdot AC - 85$
$90 + 85 = 5 \cdot AC + 2 \cdot AC$
$175 = 7 \cdot AC$
$AC = \frac{175}{7}$
$AC = 25$

Итак, расстояние между городами A и C равно 25 км.

Теперь, зная $AC$, мы можем найти остальные расстояния.

Найдем $AB$ из третьего уравнения:
$AB = 85 - AC = 85 - 25 = 60$
Расстояние между городами A и B равно 60 км.

Найдем $BC$, используя одно из полученных для него выражений, например $BC = 90 - 2 \cdot AC$ :
$BC = 90 - 2 \cdot 25 = 90 - 50 = 40$
Расстояние между городами B и C равно 40 км.

Проверим выполнение неравенства треугольника, чтобы убедиться, что города не лежат на одной прямой:

$AB + BC > AC \Rightarrow 60 + 40 > 25 \Rightarrow 100 > 25$ (Верно)
$AB + AC > BC \Rightarrow 60 + 25 > 40 \Rightarrow 85 > 40$ (Верно)
$BC + AC > AB \Rightarrow 40 + 25 > 60 \Rightarrow 65 > 60$ (Верно)

Все условия задачи выполнены.

Ответ: расстояние между городами A и B составляет 60 км, расстояние между городами B и C — 40 км, расстояние между городами A и C — 25 км.

683 Салат приготовили из помидоров по 40 р. за килограмм, огурцов по 20 р. за килограмм и перца по 70 р. за килограмм. Получили 8 кг салата по 4 р. за 100 г. Сколько помидоров, огурцов и перца взято для салата, если известно, что масса каждого продукта выражается целым числом килограммов?

1. Определение общей стоимости салата

Сначала найдем цену одного килограмма салата. В условии сказано, что 100 грамм салата стоят 4 рубля. Поскольку в одном килограмме 1000 грамм ($1000 = 10 \times 100$), то стоимость 1 кг салата будет в 10 раз выше:

$4 \text{ руб./100 г} \times 10 = 40 \text{ руб./кг}$

Всего приготовили 8 кг салата. Теперь мы можем рассчитать общую стоимость всех ингредиентов:

$8 \text{ кг} \times 40 \text{ руб./кг} = 320 \text{ рублей}$

2. Составление системы уравнений

Обозначим массу каждого продукта переменной. Пусть:

• $x$ — масса помидоров в кг,
• $y$ — масса огурцов в кг,
• $z$ — масса перца в кг.

По условию задачи, масса каждого продукта выражается целым числом, то есть $x, y, z$ — целые и, очевидно, положительные числа.

Общая масса всех продуктов равна массе салата, что дает нам первое уравнение:

$x + y + z = 8$

Общая стоимость всех продуктов равна 320 рублей. Используя цены на каждый продукт, составим второе уравнение:

$40x + 20y + 70z = 320$

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Для удобства упростим второе уравнение, разделив все его члены на 10:

$4x + 2y + 7z = 32$

Теперь решим систему:

$ \begin{cases} x + y + z = 8 \\ 4x + 2y + 7z = 32 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 8 - x - z$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$4x + 2(8 - x - z) + 7z = 32$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4x + 16 - 2x - 2z + 7z = 32$

$2x + 5z + 16 = 32$

$2x + 5z = 32 - 16$

$2x + 5z = 16$

Теперь нам нужно найти целые положительные решения для $x$ и $z$. Из уравнения $2x = 16 - 5z$ видно, что правая часть ($16 - 5z$) должна быть четным положительным числом. Это значит, что $5z$ должно быть четным, а так как 5 — нечетное число, то $z$ обязательно должно быть четным числом.

Проверим возможные четные значения для $z$, помня, что $x, y, z$ должны быть положительными.

• Если $z = 2$ (минимальное положительное четное число):
  $2x + 5(2) = 16$
  $2x + 10 = 16$
  $2x = 6$
  $x = 3$
  Теперь найдем $y$:
  $y = 8 - x - z = 8 - 3 - 2 = 3$
  Все значения ($x=3, y=3, z=2$) — целые и положительные. Это решение подходит.
• Если $z = 4$:
  $2x + 5(4) = 16$
  $2x + 20 = 16$
  $2x = -4$
  $x = -2$
  Это решение не подходит, так как масса не может быть отрицательной.

При больших значениях $z$ переменная $x$ будет становиться еще более отрицательной. Таким образом, существует только один набор целых положительных чисел, удовлетворяющий условиям задачи.

Ответ: для салата взяли 3 кг помидоров, 3 кг огурцов и 2 кг перца.