Страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

697 Постройте множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству:

а) $y \ge -x$;

б) $y < -x$;

в) $y \ge 2x$;

г) $y \le -2x + 4$.

а) $y \ge -x$

Чтобы построить множество точек, удовлетворяющих этому неравенству, мы сначала строим график соответствующего равенства, то есть прямой $y = -x$. Эта прямая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов и проходит через начало координат (0, 0) и, например, точку (2, -2).

Поскольку знак неравенства нестрогий ($\ge$), точки, лежащие на самой прямой $y = -x$, также являются решениями. Поэтому мы рисуем прямую сплошной линией.

Прямая $y = -x$ делит координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, нужно выбрать контрольную точку, не лежащую на прямой. Возьмем, к примеру, точку (1, 0). Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$0 \ge -1$

Это верное утверждение. Следовательно, решением неравенства является та полуплоскость, в которой лежит точка (1, 0). Это область, расположенная выше прямой $y = -x$.

Ответ: Множество точек, расположенных на прямой $y = -x$ и выше нее.

б) $y < -x$

Аналогично предыдущему пункту, сначала рассматриваем граничную прямую $y = -x$.

В данном случае неравенство строгое (<), поэтому точки на самой прямой $y = -x$ не входят в множество решений. Следовательно, прямую следует изобразить пунктирной линией.

Чтобы определить нужную полуплоскость, снова возьмем контрольную точку, не принадлежащую прямой, например (0, -1). Подставим ее координаты в неравенство $y < -x$:

$-1 < -0$

$-1 < 0$

Это верное утверждение. Значит, искомое множество точек — это полуплоскость, содержащая точку (0, -1), то есть область, расположенная строго ниже прямой $y = -x$.

Ответ: Множество точек, расположенных ниже прямой $y = -x$. Граница (сама прямая) в решение не входит.

в) $y \ge 2x$

Сначала построим граничную прямую, которая задается уравнением $y = 2x$. Это прямая, проходящая через начало координат (0, 0). Для ее построения найдем еще одну точку: при $x=1$, $y=2$. Таким образом, прямая проходит через точки (0, 0) и (1, 2).

Так как неравенство нестрогое ($\ge$), прямая $y = 2x$ является частью решения, и ее нужно нарисовать сплошной линией.

Прямая делит плоскость на две полуплоскости. Поскольку прямая проходит через начало координат, выберем другую контрольную точку, например, (-2, 1). Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$1 \ge 2 \cdot (-2)$

$1 \ge -4$

Это верное неравенство. Следовательно, решением является полуплоскость, в которой находится точка (-2, 1). Это полуплоскость, расположенная выше прямой $y = 2x$.

Ответ: Множество точек, расположенных на прямой $y = 2x$ и выше нее.

г) $y \le -2x + 4$

Для построения множества решений сначала строим граничную прямую $y = -2x + 4$. Найдем точки пересечения этой прямой с осями координат для удобства построения.

При $x=0$, $y = -2(0) + 4 = 4$. Точка пересечения с осью OY: (0, 4).

При $y=0$, $0 = -2x + 4$, откуда $2x = 4$, $x = 2$. Точка пересечения с осью OX: (2, 0).

Проводим через эти две точки прямую. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки на прямой $y = -2x + 4$ являются частью решения, и прямую рисуем сплошной линией.

Выберем контрольную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат (0, 0). Подставим ее координаты в неравенство:

$0 \le -2(0) + 4$

$0 \le 4$

Неравенство верное. Значит, решением является та полуплоскость, которая содержит точку (0, 0). Это полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = -2x + 4$.

Ответ: Множество точек, расположенных на прямой $y = -2x + 4$ и ниже нее.

698 Какое множество точек координатной плоскости задается неравенством:

а) $y \ge x^2$;

б) $y \le x^3$?

а) Неравенство $y \ge x^2$ задает множество точек на координатной плоскости. Чтобы найти это множество, сначала рассмотрим граничное уравнение $y = x^2$. Графиком этого уравнения является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.
Поскольку неравенство является нестрогим ($ \ge $), то все точки, лежащие на самой параболе, принадлежат искомому множеству.
Далее, парабола делит всю координатную плоскость на две области: область "внутри" (над) параболой и область "снаружи" (под) параболой. Чтобы определить, какая из этих областей является решением неравенства, выберем произвольную "пробную" точку, не лежащую на параболе. Удобно взять точку $(0, 1)$, которая находится над параболой.
Подставим координаты этой точки в исходное неравенство: $1 \ge 0^2$
$1 \ge 0$
Полученное неравенство верно. Это означает, что область, в которой лежит точка $(0, 1)$, удовлетворяет неравенству. Таким образом, решением является множество всех точек, расположенных над параболой.
Объединяя точки на границе и точки над ней, получаем искомое множество.
Ответ: множество точек плоскости, расположенных на параболе $y=x^2$ и над ней.

б) Рассмотрим неравенство $y \le x^3$. Границей для этого множества точек является график функции $y = x^3$, известный как кубическая парабола. Эта кривая проходит через начало координат.
Так как неравенство нестрогое ($ \le $), все точки на самой кривой $y = x^3$ являются частью решения.
Кривая $y = x^3$ делит плоскость на две области. Чтобы определить искомую область, возьмем пробную точку, не лежащую на кривой. Например, точку $(2, 1)$. Эта точка находится под графиком, так как $1 < 2^3 = 8$.
Подставим координаты точки $(2, 1)$ в неравенство: $1 \le 2^3$
$1 \le 8$
Это неравенство верно. Следовательно, область, содержащая точку $(2, 1)$, то есть область под кривой $y = x^3$, является решением.
Для дополнительной проверки можно взять точку с другой стороны от кривой, например, $(-1, 1)$. Она находится над графиком, так как $1 > (-1)^3 = -1$.
Подставим $(-1, 1)$ в неравенство: $1 \le (-1)^3$
$1 \le -1$
Это неравенство ложно, что подтверждает наш вывод.
Итак, искомое множество состоит из точек самой кривой и всех точек под ней.
Ответ: множество точек плоскости, расположенных на кривой $y=x^3$ и под ней.

699 Постройте множество точек плоскости, которое задаётся системой неравенств:

а) $ \begin{cases} y \geq \frac{1}{3}x \\ y \leq 6 \\ y \geq 0 \end{cases} $

б) $ \begin{cases} y \geq x - 1 \\ y \leq x + 1 \end{cases} $

В) $ \begin{cases} y \geq |x| \\ y \leq 5 \end{cases} $

г) $ \begin{cases} y \geq -x + 4 \\ y \geq x - 4 \\ y \leq \frac{1}{4}x + 2 \end{cases} $

а)

Рассмотрим систему из трех неравенств:

$ \begin{cases} y \ge \frac{1}{3}x \\ y \le 6 \\ y \ge 0 \end{cases} $

Каждое неравенство задает полуплоскость. Искомое множество точек является пересечением этих трех полуплоскостей.

1. Неравенство $y \ge \frac{1}{3}x$ задает множество точек, расположенных на прямой $y = \frac{1}{3}x$ и выше нее. Эта прямая проходит через начало координат $(0,0)$.

2. Неравенство $y \le 6$ задает множество точек, расположенных на горизонтальной прямой $y = 6$ и ниже нее.

3. Неравенство $y \ge 0$ задает множество точек, расположенных на оси абсцисс ($y=0$) и выше нее (верхняя полуплоскость).

Объединение условий $y \le 6$ и $y \ge 0$ дает бесконечную горизонтальную полосу, заключенную между прямыми $y=0$ и $y=6$. Эту полосу нужно пересечь с полуплоскостью $y \ge \frac{1}{3}x$.

Найдем точки пересечения граничных прямых:

• Пересечение прямых $y = \frac{1}{3}x$ и $y=0$: $\frac{1}{3}x=0 \implies x=0$. Точка пересечения $(0,0)$.
• Пересечение прямых $y = \frac{1}{3}x$ и $y=6$: $\frac{1}{3}x=6 \implies x=18$. Точка пересечения $(18,6)$.

Прямые $y=0$ и $y=6$ параллельны и не пересекаются.

Искомое множество точек представляет собой неограниченную фигуру (бесконечный трапецоид). Эта фигура ограничена справа отрезком прямой $y = \frac{1}{3}x$ с концами в точках $(0,0)$ и $(18,6)$. Сверху она ограничена лучом, выходящим из точки $(18,6)$ и идущим влево вдоль прямой $y=6$. Снизу она ограничена лучом, выходящим из точки $(0,0)$ и идущим влево вдоль оси $Ox$. Влево фигура не ограничена.

Ответ: Множество точек является бесконечным трапецоидом, ограниченным отрезком прямой $y = \frac{1}{3}x$ между точками $(0,0)$ и $(18,6)$, и лучами $y=6, x \le 18$ и $y=0, x \le 0$.

б)

Рассмотрим систему из двух неравенств:

$ \begin{cases} y \ge x - 1 \\ y \le x + 1 \end{cases} $

1. Неравенство $y \ge x - 1$ задает полуплоскость, расположенную на прямой $y = x - 1$ и выше нее. Эта прямая имеет угловой коэффициент $1$ и пересекает ось ординат в точке $(0, -1)$.

2. Неравенство $y \le x + 1$ задает полуплоскость, расположенную на прямой $y = x + 1$ и ниже нее. Эта прямая имеет угловой коэффициент $1$ и пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$.

Так как угловые коэффициенты прямых $y = x - 1$ и $y = x + 1$ равны, эти прямые параллельны. Искомое множество точек является пересечением двух полуплоскостей, то есть полосой, заключенной между этими двумя параллельными прямыми, включая сами прямые.

Ответ: Множество точек представляет собой бесконечную полосу, заключенную между параллельными прямыми $y = x - 1$ и $y = x + 1$, включая сами прямые.

в)

Рассмотрим систему из двух неравенств:

$ \begin{cases} y \ge |x| \\ y \le 5 \end{cases} $

1. Неравенство $y \ge |x|$ задает область на плоскости, расположенную выше графика функции $y = |x|$ (или на нем). График $y = |x|$ состоит из двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. Эти лучи образуют "угол" с вершиной в начале координат.

2. Неравенство $y \le 5$ задает полуплоскость, расположенную на горизонтальной прямой $y = 5$ и ниже нее.

Искомое множество точек является пересечением этих двух областей. Это замкнутая фигура — треугольник. Найдем его вершины, решая системы уравнений для граничных линий.

• Вершина "угла": пересечение лучей $y=x$ и $y=-x$ — это точка $(0,0)$. Проверим ее: $0 \ge |0|$ (верно), $0 \le 5$ (верно). Значит, $(0,0)$ является вершиной фигуры.
• Пересечение $y=x$ и $y=5$: $x=5$. Точка $(5,5)$.
• Пересечение $y=-x$ и $y=5$: $x=-5$. Точка $(-5,5)$.

Таким образом, искомое множество точек — это равнобедренный треугольник с вершинами в точках $(0,0)$, $(5,5)$ и $(-5,5)$.

Ответ: Множество точек является треугольником с вершинами в точках $(0,0)$, $(-5,5)$ и $(5,5)$.

г)

Рассмотрим систему из трех неравенств:

$ \begin{cases} y \ge -x + 4 \\ y \ge x - 4 \\ y \le \frac{1}{4}x + 2 \end{cases} $

Данное множество точек является пересечением трех полуплоскостей. Так как область ограничена со всех сторон, она представляет собой треугольник. Найдем его вершины как точки попарного пересечения граничных прямых.

1. Найдем точку пересечения прямых $y = -x + 4$ и $y = x - 4$:

$-x + 4 = x - 4 \implies 2x = 8 \implies x = 4$.

Подставим $x=4$ в любое из уравнений: $y = 4 - 4 = 0$. Получаем вершину $A(4,0)$.

Проверим для третьей прямой: $0 \le \frac{1}{4}(4) + 2 = 1+2=3$. Неравенство выполняется.

2. Найдем точку пересечения прямых $y = -x + 4$ и $y = \frac{1}{4}x + 2$:

$-x + 4 = \frac{1}{4}x + 2 \implies 2 = x + \frac{1}{4}x \implies 2 = \frac{5}{4}x \implies x = \frac{8}{5}$.

Подставим $x=\frac{8}{5}$ в первое уравнение: $y = -\frac{8}{5} + 4 = \frac{-8+20}{5} = \frac{12}{5}$. Получаем вершину $B(\frac{8}{5}, \frac{12}{5})$.

Проверим для второй прямой: $\frac{12}{5} \ge \frac{8}{5} - 4 = \frac{8-20}{5} = -\frac{12}{5}$. Неравенство выполняется.

3. Найдем точку пересечения прямых $y = x - 4$ и $y = \frac{1}{4}x + 2$:

$x - 4 = \frac{1}{4}x + 2 \implies x - \frac{1}{4}x = 6 \implies \frac{3}{4}x = 6 \implies x = 8$.

Подставим $x=8$ в первое уравнение: $y = 8 - 4 = 4$. Получаем вершину $C(8,4)$.

Проверим для первой прямой: $4 \ge -8 + 4 = -4$. Неравенство выполняется.

Искомое множество — это треугольник, ограниченный этими тремя прямыми, включая его границы.

Ответ: Множество точек является треугольником с вершинами в точках $(4,0)$, $(\frac{8}{5}, \frac{12}{5})$ и $(8,4)$.