Страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1. Что называется решением уравнения с двумя переменными? Укажите несколько решений уравнения $4x - y = 4$.

Что называется решением уравнения с двумя переменными?

Решением уравнения с двумя переменными, например $x$ и $y$, называется любая упорядоченная пара чисел $(x_0; y_0)$, которая удовлетворяет этому уравнению. Это означает, что если подставить число $x_0$ вместо переменной $x$ и число $y_0$ вместо переменной $y$, то уравнение превратится в верное числовое равенство.

Ответ: Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Укажите несколько решений уравнения $4x-y=4$.

Чтобы найти решения данного уравнения, сначала выразим одну переменную через другую. Удобнее всего выразить переменную $y$ через $x$:

$4x - y = 4$
$y = 4x - 4$

Теперь мы можем подставлять любые значения для переменной $x$ и находить соответствующие им значения $y$, которые вместе образуют пару-решение. Приведем несколько примеров:

• Если $x = 0$, то $y = 4 \cdot 0 - 4 = -4$. Решением является пара $(0; -4)$.
• Если $x = 1$, то $y = 4 \cdot 1 - 4 = 0$. Решением является пара $(1; 0)$.
• Если $x = 2$, то $y = 4 \cdot 2 - 4 = 8 - 4 = 4$. Решением является пара $(2; 4)$.

Ответ: Например, $(0; -4)$, $(1; 0)$, $(2; 4)$.

2. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными.

Какие из следующих уравнений являются линейными:

$x + y = 0$, $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$,

$2x - 5y = 8$, $y - x^2 = 6?$

Определение линейного уравнения с двумя переменными

Линейным уравнением с двумя переменными (например, $x$ и $y$) называется уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — это переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа, которые называются коэффициентами. Ключевым свойством линейного уравнения является то, что переменные входят в него только в первой степени. Коэффициенты $a$ и $b$ не должны быть одновременно равны нулю (математически это записывается как $a^2 + b^2 \neq 0$). Графиком такого уравнения на координатной плоскости всегда является прямая линия.

Анализ предложенных уравнений

• $x + y = 0$: Данное уравнение можно переписать в стандартном виде как $1 \cdot x + 1 \cdot y = 0$. Здесь $a=1$, $b=1$ и $c=0$. Все условия определения линейного уравнения выполняются. Следовательно, это уравнение является линейным.
• $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$: В этом уравнении переменные $x$ и $y$ находятся в знаменателе, что равносильно их записи в степени -1 ($x^{-1}$ и $y^{-1}$). Так как переменные в линейном уравнении должны быть в первой степени, это уравнение не является линейным.
• $2x - 5y = 8$: Это уравнение уже записано в стандартной форме $ax + by = c$, где $a=2$, $b=-5$ и $c=8$. Оно полностью соответствует определению, поэтому является линейным.
• $y - x^2 = 6$: Уравнение содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$). Это нарушает основное требование для линейных уравнений, согласно которому переменные должны быть только в первой степени. Таким образом, это уравнение не является линейным (это уравнение параболы).

Ответ: Линейными уравнениями из предложенного списка являются $x + y = 0$ и $2x - 5y = 8$.

3 Что является графиком уравнения $ax + by = c$, где хотя бы один из коэффициентов $a$ и $b$ отличен от 0?

Уравнение вида $ax + by = c$ называется общим уравнением прямой на плоскости. Чтобы определить, что является его графиком, необходимо рассмотреть все возможные случаи, которые удовлетворяют условию, что хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю.

Рассмотрим случай, когда коэффициент $b \neq 0$. В этой ситуации мы можем выразить переменную $y$ через $x$ из исходного уравнения:
$by = -ax + c$
$y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$
Полученное уравнение имеет вид $y = kx + m$, где $k = -\frac{a}{b}$ — угловой коэффициент, а $m = \frac{c}{b}$ — сдвиг по оси ординат. Это каноническое уравнение прямой. Если $a \neq 0$, то это наклонная прямая. Если $a = 0$, то уравнение упрощается до $y = \frac{c}{b}$, что является уравнением горизонтальной прямой, параллельной оси $Ox$.

Теперь рассмотрим оставшийся случай, когда $b = 0$. Согласно условию задачи, если $b = 0$, то коэффициент $a$ должен быть отличен от нуля ($a \neq 0$). Уравнение принимает вид:
$ax + 0 \cdot y = c$
$ax = c$
$x = \frac{c}{a}$
Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси $Oy$, все точки которой имеют одинаковую абсциссу $x = \frac{c}{a}$.

Таким образом, во всех возможных случаях, когда выполняется условие, что хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю, графиком уравнения $ax + by = c$ является прямая линия.

Ответ: Прямая линия.

4 Найдите угловой коэффициент прямой $5x + 2y = 9$.

Угловой коэффициент прямой можно найти, приведя её уравнение к виду $y = kx + b$, где $k$ и есть искомый угловой коэффициент.

Дано уравнение прямой: $5x + 2y = 9$.

Чтобы выразить $y$, сначала перенесём слагаемое $5x$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$2y = -5x + 9$

Теперь разделим обе части уравнения на 2:

$y = \frac{-5x + 9}{2}$

Чтобы привести уравнение к стандартному виду, разделим почленно числитель на знаменатель:

$y = -\frac{5}{2}x + \frac{9}{2}$

Теперь уравнение имеет вид $y = kx + b$. Сравнивая его с полученным, видим, что коэффициент при $x$ равен $-\frac{5}{2}$. Это и есть угловой коэффициент.

Переведём дробь в десятичный вид:

$k = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: $-2.5$

$x + y = 0$, $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$,

$2x - 5y = 8$, $y - x^2 = 6?$

3 Что является графиком уравнения $ax + by = c$, где хотя бы один из коэффициентов $a$ и $b$ отличен от 0?

4 Найдите угловой коэффициент прямой $5x + 2y = 9$.

5 Прямые, изображённые на рисунке 4.44, могут быть заданы уравнениями вида $y = kx$. Для каждой прямой укажите знак коэффициента $k$.

Рис. 4.44

3

Уравнение вида $ax + by = c$ является общим уравнением прямой на плоскости. Условие, что хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ отличен от нуля, является обязательным для этого определения.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если коэффициент $b \ne 0$, то уравнение можно преобразовать к виду $by = -ax + c$. Разделив обе части на $b$, получим $y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k = -\frac{a}{b}$. Графиком является наклонная или горизонтальная прямая.

2. Если коэффициент $b = 0$, то по условию $a \ne 0$. Уравнение принимает вид $ax = c$, откуда $x = \frac{c}{a}$. Это уравнение задает вертикальную прямую, которая параллельна оси ординат ($Oy$).

Таким образом, в любом случае графиком данного уравнения является прямая линия.

Ответ: прямая линия.

4

Угловой коэффициент прямой — это коэффициент $k$ в уравнении прямой, записанном в виде $y = kx + m$. Чтобы найти его, преобразуем данное уравнение $5x + 2y = 9$ к этому виду.

Сначала выразим член с $y$:

$2y = -5x + 9$

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $y$:

$y = \frac{-5x + 9}{2} = -\frac{5}{2}x + \frac{9}{2}$

В полученном уравнении $y = -2.5x + 4.5$ коэффициент при $x$ равен $-2.5$. Это и есть искомый угловой коэффициент.

Ответ: $-2.5$.

5

Уравнение прямой вида $y = kx$ описывает прямую, проходящую через начало координат. Знак углового коэффициента $k$ определяет, в каких координатных четвертях расположена прямая.

Если $k > 0$, то прямая возрастает (идет "вверх" слева направо) и расположена в I и III четвертях.

Если $k < 0$, то прямая убывает (идет "вниз" слева направо) и расположена во II и IV четвертях.

Определим знак коэффициента $k$ для каждой прямой на рисунке:

a: прямая убывает, проходит через II и IV четверти. Следовательно, $k < 0$.

b: прямая возрастает, проходит через I и III четверти. Следовательно, $k > 0$.

c: прямая возрастает, проходит через I и III четверти. Следовательно, $k > 0$.

d: прямая убывает, проходит через II и IV четверти. Следовательно, $k < 0$.

Ответ: a: $k < 0$; b: $k > 0$; c: $k > 0$; d: $k < 0$.

6. Каков геометрический смысл коэффициента $l$ в уравнении $y = kx + l$?
В какой точке пересекает ось $y$ прямая $y = 3x - 10$?

Каков геометрический смысл коэффициента l в уравнении y = kx + l? Уравнение вида $y = kx + l$ является уравнением прямой с угловым коэффициентом. Геометрический смысл коэффициента $l$ можно определить, найдя точку пересечения графика этой функции с осью ординат ($y$). Любая точка, которая лежит на оси $y$, имеет абсциссу (координату $x$) равную нулю. Подставим значение $x=0$ в уравнение прямой: $y = k \cdot 0 + l$ $y = l$ Таким образом, прямая пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0, l)$. Это означает, что коэффициент $l$ численно равен ординате точки, в которой прямая пересекает ось $y$. Этот коэффициент также называют свободным членом или y-перехватом (y-intercept).
Ответ: коэффициент $l$ в уравнении прямой $y = kx + l$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

В какой точке пересекает ось y прямая y = 3x - 10? Чтобы найти точку пересечения прямой $y = 3x - 10$ с осью $y$, необходимо найти значение функции при $x=0$. Подставим $x=0$ в данное уравнение: $y = 3 \cdot 0 - 10$ $y = 0 - 10$ $y = -10$ Следовательно, когда абсцисса равна 0, ордината равна -10. Точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, -10)$. Это также следует из общего вида уравнения $y=kx+l$, где для прямой $y = 3x - 10$ коэффициент $l = -10$, что и является ординатой точки пересечения с осью $y$.
Ответ: $(0, -10)$.

7 Сформулируйте условие параллельности двух прямых, заданных уравнениями вида $y = kx + l$. Приведите примеры уравнений, задающих параллельные прямые.

Сформулируйте условие параллельности двух прямых, заданных уравнениями вида y = kx + l

Уравнение прямой вида $y = kx + l$ называется уравнением с угловым коэффициентом. В этом уравнении:

• Коэффициент $k$ — это угловой коэффициент, который определяет наклон прямой к положительному направлению оси абсцисс (Ox).
• Коэффициент $l$ — это свободный член, который показывает, в какой точке прямая пересекает ось ординат (Oy). Координаты этой точки $(0, l)$.

Две прямые на плоскости параллельны, если они имеют одинаковый наклон, но при этом не являются одной и той же прямой (не совпадают).

Пусть даны две прямые, заданные уравнениями:
Прямая 1: $y_1 = k_1x + l_1$
Прямая 2: $y_2 = k_2x + l_2$

Условие параллельности этих двух прямых заключается в том, что их угловые коэффициенты должны быть равны, а свободные члены — различны. Математически это записывается так:

$k_1 = k_2$

$l_1 \neq l_2$

Если бы выполнялось и условие $l_1 = l_2$ (при $k_1 = k_2$), то прямые бы совпадали.

Приведите примеры уравнений, задающих параллельные прямые

Исходя из сформулированного условия, можно привести следующие примеры:

Пример 1:
Прямые $y = 2x + 5$ и $y = 2x - 1$.
Здесь угловые коэффициенты равны: $k_1 = k_2 = 2$.
Свободные члены различны: $l_1 = 5$, а $l_2 = -1$.
Следовательно, прямые параллельны.

Пример 2:
Прямые $y = -3x + 4$ и $y = -3x$.
Во втором уравнении свободный член $l_2 = 0$.
Здесь угловые коэффициенты равны: $k_1 = k_2 = -3$.
Свободные члены различны: $l_1 = 4$, а $l_2 = 0$.
Следовательно, прямые параллельны.

Пример 3:
Прямые $y = \frac{1}{2}x + 7$ и $y = 0.5x - 3$.
Так как $\frac{1}{2} = 0.5$, угловые коэффициенты равны: $k_1 = k_2 = 0.5$.
Свободные члены различны: $l_1 = 7$, а $l_2 = -3$.
Следовательно, прямые параллельны.

Ответ: Две прямые, заданные уравнениями $y_1 = k_1x + l_1$ и $y_2 = k_2x + l_2$, параллельны, если их угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены — различны ($l_1 \neq l_2$). Пример уравнений, задающих параллельные прямые: $y = 5x + 1$ и $y = 5x - 10$.

8 Что называется решением системы двух уравнений с двумя переменными? Является ли решением системы уравнений $\begin{cases} x + 2y = -5 \\ x - y = 7 \end{cases}$ пара чисел: (3; -4)? (-1; -2)?

Что называется решением системы двух уравнений с двумя переменными?

Решением системы двух уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел (например, $(x_0; y_0)$), которая при подстановке в каждое из уравнений системы обращает его в верное числовое равенство. Это означает, что данная пара значений переменных должна удовлетворять одновременно всем уравнениям, входящим в систему.

Ответ: Упорядоченная пара чисел, которая является решением каждого из уравнений системы.

Является ли решением системы уравнений $\begin{cases} x+2y=-5 \\ x-y=7 \end{cases}$ пара чисел: (3; -4)? (-1; -2)?

Чтобы проверить, является ли пара чисел решением системы, необходимо подставить значения переменных из этой пары в каждое уравнение системы и проверить, получаются ли верные равенства.

Проверка пары (3; -4):
Подставим $x=3$ и $y=-4$ в оба уравнения системы.
1. Проверка первого уравнения: $x+2y = -5$
$3 + 2 \cdot (-4) = 3 - 8 = -5$
Получаем верное равенство: $-5 = -5$.
2. Проверка второго уравнения: $x-y = 7$
$3 - (-4) = 3 + 4 = 7$
Получаем верное равенство: $7 = 7$.
Так как оба равенства верны, пара чисел (3; -4) является решением системы.

Проверка пары (-1; -2):
Подставим $x=-1$ и $y=-2$ в оба уравнения системы.
1. Проверка первого уравнения: $x+2y = -5$
$-1 + 2 \cdot (-2) = -1 - 4 = -5$
Получаем верное равенство: $-5 = -5$.
2. Проверка второго уравнения: $x-y = 7$
$-1 - (-2) = -1 + 2 = 1$
Получаем неверное равенство: $1 \neq 7$.
Так как второе равенство неверно, пара чисел (-1; -2) не является решением системы.

Ответ: Пара (3; -4) является решением системы, а пара (-1; -2) не является.

9 На примере системы уравнений $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 7x + 2y = 16 \end{cases}$ расскажите, как решают систему методом сложения.

Метод сложения для решения систем линейных уравнений заключается в том, чтобы путем сложения (или вычитания) уравнений системы исключить одну из переменных. Это позволяет получить одно уравнение с одной неизвестной, которое легко решается. Рассмотрим применение этого метода на примере данной системы.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 7x + 2y = 16 \end{cases} $$

Шаг 1: Подготовка уравнений

Цель метода сложения — добиться того, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях были противоположными числами (например, $-5$ и $5$). В нашей системе у переменной $y$ коэффициенты $-1$ и $2$. Если мы умножим первое уравнение на $2$, то коэффициент при $y$ станет $-2$, что является противоположным числу $2$ во втором уравнении.

Умножим обе части первого уравнения на $2$:

$2 \cdot (2x - y) = 2 \cdot 3$

$4x - 2y = 6$

Теперь наша система уравнений выглядит так:

$$ \begin{cases} 4x - 2y = 6 \\ 7x + 2y = 16 \end{cases} $$

Шаг 2: Сложение уравнений

Теперь, когда коэффициенты при $y$ противоположны, мы можем сложить два уравнения почленно (левую часть с левой, правую с правой). Это приведет к исключению переменной $y$.

$(4x - 2y) + (7x + 2y) = 6 + 16$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$4x + 7x - 2y + 2y = 22$

$11x = 22$

Шаг 3: Нахождение значения одной переменной

Мы получили простое линейное уравнение с одной переменной $x$. Решим его:

$x = \frac{22}{11}$

$x = 2$

Шаг 4: Нахождение значения второй переменной

Теперь, когда мы знаем значение $x$, подставим его в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем первое исходное уравнение $2x - y = 3$, так как оно проще.

Подставляем $x = 2$:

$2 \cdot 2 - y = 3$

$4 - y = 3$

$-y = 3 - 4$

$-y = -1$

$y = 1$

Шаг 5: Проверка и запись ответа

Мы нашли, что $x=2$ и $y=1$. Для уверенности можно сделать проверку, подставив эти значения в оба исходных уравнения:

1) $2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$. Верно.

2) $7(2) + 2(1) = 14 + 2 = 16$. Верно.

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$

10 Используя графические соображения, определите, какая система имеет единственное решение, какая система не имеет решений, какая система имеет бесконечное множество решений:

1)

2)

3)

1) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 10 \end{cases} $.
Для анализа системы с помощью графических соображений, представим каждое линейное уравнение в виде функции $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент прямой, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $y$.
Преобразуем первое уравнение:
$3x - y = 5 \implies -y = -3x + 5 \implies y = 3x - 5$.
Для этой прямой угловой коэффициент $k_1 = 3$ и $b_1 = -5$.
Преобразуем второе уравнение:
$6x - 2y = 10$.
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
$3x - y = 5 \implies y = 3x - 5$.
Для этой прямой угловой коэффициент $k_2 = 3$ и $b_2 = -5$.
Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$, оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Графики уравнений совпадают, следовательно, система имеет бесконечное множество общих точек (решений).
Ответ: система имеет бесконечное множество решений.

2) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 4x - y = 8 \\ 8x - y = 8 \end{cases} $.
Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$.
Первое уравнение:
$4x - y = 8 \implies -y = -4x + 8 \implies y = 4x - 8$.
Угловой коэффициент $k_1 = 4$.
Второе уравнение:
$8x - y = 8 \implies -y = -8x + 8 \implies y = 8x - 8$.
Угловой коэффициент $k_2 = 8$.
Поскольку угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), прямые, являющиеся графиками этих уравнений, пересекаются в одной-единственной точке. Следовательно, система имеет единственное решение.
Ответ: система имеет единственное решение.

3) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = 3x + 9 \\ 6x - 2y = -27 \end{cases} $.
Первое уравнение уже представлено в виде $y = kx + b$: $y = 3x + 9$.
Для этой прямой угловой коэффициент $k_1 = 3$ и $b_1 = 9$.
Преобразуем второе уравнение к этому же виду:
$6x - 2y = -27 \implies -2y = -6x - 27 \implies y = \frac{-6x}{-2} + \frac{-27}{-2} \implies y = 3x + 13.5$.
Для этой прямой угловой коэффициент $k_2 = 3$ и $b_2 = 13.5$.
Так как угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а ординаты точек пересечения с осью $y$ различны ($b_1 \neq b_2$), то прямые параллельны и не пересекаются. Следовательно, у системы нет общих точек, то есть нет решений.
Ответ: система не имеет решений.