Номер 9, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 4. Системы уравнений - номер 9, страница 221.

Условие.

9 На примере системы уравнений $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 7x + 2y = 16 \end{cases}$ расскажите, как решают систему методом сложения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Метод сложения для решения систем линейных уравнений заключается в том, чтобы путем сложения (или вычитания) уравнений системы исключить одну из переменных. Это позволяет получить одно уравнение с одной неизвестной, которое легко решается. Рассмотрим применение этого метода на примере данной системы.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 7x + 2y = 16 \end{cases} $$

Шаг 1: Подготовка уравнений

Цель метода сложения — добиться того, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях были противоположными числами (например, $-5$ и $5$). В нашей системе у переменной $y$ коэффициенты $-1$ и $2$. Если мы умножим первое уравнение на $2$, то коэффициент при $y$ станет $-2$, что является противоположным числу $2$ во втором уравнении.

Умножим обе части первого уравнения на $2$:

$2 \cdot (2x - y) = 2 \cdot 3$

$4x - 2y = 6$

Теперь наша система уравнений выглядит так:

$$ \begin{cases} 4x - 2y = 6 \\ 7x + 2y = 16 \end{cases} $$

Шаг 2: Сложение уравнений

Теперь, когда коэффициенты при $y$ противоположны, мы можем сложить два уравнения почленно (левую часть с левой, правую с правой). Это приведет к исключению переменной $y$.

$(4x - 2y) + (7x + 2y) = 6 + 16$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$4x + 7x - 2y + 2y = 22$

$11x = 22$

Шаг 3: Нахождение значения одной переменной

Мы получили простое линейное уравнение с одной переменной $x$. Решим его:

$x = \frac{22}{11}$

$x = 2$

Шаг 4: Нахождение значения второй переменной

Теперь, когда мы знаем значение $x$, подставим его в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем первое исходное уравнение $2x - y = 3$, так как оно проще.

Подставляем $x = 2$:

$2 \cdot 2 - y = 3$

$4 - y = 3$

$-y = 3 - 4$

$-y = -1$

$y = 1$

Шаг 5: Проверка и запись ответа

Мы нашли, что $x=2$ и $y=1$. Для уверенности можно сделать проверку, подставив эти значения в оба исходных уравнения:

1) $2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$. Верно.

2) $7(2) + 2(1) = 14 + 2 = 16$. Верно.

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$