Номер 5, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 4. Системы уравнений - номер 5, страница 221.

Условие.

$x + y = 0$, $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$,

$2x - 5y = 8$, $y - x^2 = 6?$

3 Что является графиком уравнения $ax + by = c$, где хотя бы один из коэффициентов $a$ и $b$ отличен от 0?

4 Найдите угловой коэффициент прямой $5x + 2y = 9$.

5 Прямые, изображённые на рисунке 4.44, могут быть заданы уравнениями вида $y = kx$. Для каждой прямой укажите знак коэффициента $k$.

Рис. 4.44

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

3

Уравнение вида $ax + by = c$ является общим уравнением прямой на плоскости. Условие, что хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ отличен от нуля, является обязательным для этого определения.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если коэффициент $b \ne 0$, то уравнение можно преобразовать к виду $by = -ax + c$. Разделив обе части на $b$, получим $y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k = -\frac{a}{b}$. Графиком является наклонная или горизонтальная прямая.

2. Если коэффициент $b = 0$, то по условию $a \ne 0$. Уравнение принимает вид $ax = c$, откуда $x = \frac{c}{a}$. Это уравнение задает вертикальную прямую, которая параллельна оси ординат ($Oy$).

Таким образом, в любом случае графиком данного уравнения является прямая линия.

Ответ: прямая линия.

4

Угловой коэффициент прямой — это коэффициент $k$ в уравнении прямой, записанном в виде $y = kx + m$. Чтобы найти его, преобразуем данное уравнение $5x + 2y = 9$ к этому виду.

Сначала выразим член с $y$:

$2y = -5x + 9$

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $y$:

$y = \frac{-5x + 9}{2} = -\frac{5}{2}x + \frac{9}{2}$

В полученном уравнении $y = -2.5x + 4.5$ коэффициент при $x$ равен $-2.5$. Это и есть искомый угловой коэффициент.

Ответ: $-2.5$.

5

Уравнение прямой вида $y = kx$ описывает прямую, проходящую через начало координат. Знак углового коэффициента $k$ определяет, в каких координатных четвертях расположена прямая.

Если $k > 0$, то прямая возрастает (идет "вверх" слева направо) и расположена в I и III четвертях.

Если $k < 0$, то прямая убывает (идет "вниз" слева направо) и расположена во II и IV четвертях.

Определим знак коэффициента $k$ для каждой прямой на рисунке:

a: прямая убывает, проходит через II и IV четверти. Следовательно, $k < 0$.

b: прямая возрастает, проходит через I и III четверти. Следовательно, $k > 0$.

c: прямая возрастает, проходит через I и III четверти. Следовательно, $k > 0$.

d: прямая убывает, проходит через II и IV четверти. Следовательно, $k < 0$.

Ответ: a: $k < 0$; b: $k > 0$; c: $k > 0$; d: $k < 0$.