Номер 10, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 4. Системы уравнений - номер 10, страница 221.

Условие.

10 Используя графические соображения, определите, какая система имеет единственное решение, какая система не имеет решений, какая система имеет бесконечное множество решений:

1)

$$ \begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 10; \end{cases} $$

2)

$$ \begin{cases} 4x - y = 8 \\ 8x - y = 8; \end{cases} $$

3)

$$ \begin{cases} y = 3x + 9 \\ 6x - 2y = -27. \end{cases} $$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 10 \end{cases} $.
Для анализа системы с помощью графических соображений, представим каждое линейное уравнение в виде функции $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент прямой, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $y$.
Преобразуем первое уравнение:
$3x - y = 5 \implies -y = -3x + 5 \implies y = 3x - 5$.
Для этой прямой угловой коэффициент $k_1 = 3$ и $b_1 = -5$.
Преобразуем второе уравнение:
$6x - 2y = 10$.
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
$3x - y = 5 \implies y = 3x - 5$.
Для этой прямой угловой коэффициент $k_2 = 3$ и $b_2 = -5$.
Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$, оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Графики уравнений совпадают, следовательно, система имеет бесконечное множество общих точек (решений).
Ответ: система имеет бесконечное множество решений.

2) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 4x - y = 8 \\ 8x - y = 8 \end{cases} $.
Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$.
Первое уравнение:
$4x - y = 8 \implies -y = -4x + 8 \implies y = 4x - 8$.
Угловой коэффициент $k_1 = 4$.
Второе уравнение:
$8x - y = 8 \implies -y = -8x + 8 \implies y = 8x - 8$.
Угловой коэффициент $k_2 = 8$.
Поскольку угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), прямые, являющиеся графиками этих уравнений, пересекаются в одной-единственной точке. Следовательно, система имеет единственное решение.
Ответ: система имеет единственное решение.

3) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = 3x + 9 \\ 6x - 2y = -27 \end{cases} $.
Первое уравнение уже представлено в виде $y = kx + b$: $y = 3x + 9$.
Для этой прямой угловой коэффициент $k_1 = 3$ и $b_1 = 9$.
Преобразуем второе уравнение к этому же виду:
$6x - 2y = -27 \implies -2y = -6x - 27 \implies y = \frac{-6x}{-2} + \frac{-27}{-2} \implies y = 3x + 13.5$.
Для этой прямой угловой коэффициент $k_2 = 3$ и $b_2 = 13.5$.
Так как угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а ординаты точек пересечения с осью $y$ различны ($b_1 \neq b_2$), то прямые параллельны и не пересекаются. Следовательно, у системы нет общих точек, то есть нет решений.
Ответ: система не имеет решений.