Номер 6, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 4. Системы уравнений - номер 6, страница 222.

Условие.

6 Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} 5x + 2y = 8 \\ 3x - y = 7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x + 4y = 13 \\ 5x + 2y = 17; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x - y = 5 \\ xy = 14. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)
Дана система линейных уравнений:
$ \begin{cases} 5x + 2y = 8 \\ 3x - y = 7 \end{cases} $
Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим y через x:
$3x - y = 7$
$y = 3x - 7$
Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение системы:
$5x + 2(3x - 7) = 8$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно x:
$5x + 6x - 14 = 8$
$11x = 8 + 14$
$11x = 22$
$x = \frac{22}{11}$
$x = 2$
Теперь, зная значение x, найдем соответствующее значение y, подставив $x = 2$ в выражение $y = 3x - 7$:
$y = 3(2) - 7$
$y = 6 - 7$
$y = -1$
Проверим найденное решение $(2; -1)$, подставив его в оба исходных уравнения:
$5(2) + 2(-1) = 10 - 2 = 8$ (верно)
$3(2) - (-1) = 6 + 1 = 7$ (верно)
Ответ: $(2; -1)$

б)
Дана система линейных уравнений:
$ \begin{cases} 3x + 4y = 13 \\ 5x + 2y = 17 \end{cases} $
Решим эту систему методом сложения (исключения). Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными по знаку:
$-2 \cdot (5x + 2y) = -2 \cdot 17$
$-10x - 4y = -34$
Теперь сложим почленно первое уравнение ($3x + 4y = 13$) с полученным новым уравнением:
$(3x + 4y) + (-10x - 4y) = 13 + (-34)$
$3x - 10x = -21$
$-7x = -21$
$x = \frac{-21}{-7}$
$x = 3$
Подставим найденное значение $x = 3$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$5(3) + 2y = 17$
$15 + 2y = 17$
$2y = 17 - 15$
$2y = 2$
$y = 1$
Проверим найденное решение $(3; 1)$:
$3(3) + 4(1) = 9 + 4 = 13$ (верно)
$5(3) + 2(1) = 15 + 2 = 17$ (верно)
Ответ: $(3; 1)$

в)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 5 \\ xy = 14 \end{cases} $
Это нелинейная система, решим ее методом подстановки. Из первого уравнения выразим x через y:
$x = 5 + y$
Подставим это выражение для x во второе уравнение:
$(5 + y)y = 14$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$5y + y^2 = 14$
$y^2 + 5y - 14 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение -14. Этим условиям удовлетворяют числа -7 и 2:
$y_1 = -7$, $y_2 = 2$
Теперь найдем соответствующие значения x для каждого корня y, используя формулу $x = 5 + y$:
1) Если $y_1 = -7$, то $x_1 = 5 + (-7) = -2$. Получаем первую пару решений: $(-2; -7)$.
2) Если $y_2 = 2$, то $x_2 = 5 + 2 = 7$. Получаем вторую пару решений: $(7; 2)$.
Проверим оба решения:
Для $(-2; -7)$:
$x - y = -2 - (-7) = 5$ (верно)
$xy = (-2) \cdot (-7) = 14$ (верно)
Для $(7; 2)$:
$x - y = 7 - 2 = 5$ (верно)
$xy = 7 \cdot 2 = 14$ (верно)
Ответ: $(-2; -7), (7; 2)$