Номер 9, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 4. Системы уравнений - номер 9, страница 222.

Условие.

9 Вычислите координаты точки пересечения прямой $y = 2 + x$ и окружности $x^2 + y^2 = 10$. Рис. 4.45

Составьте систему уравнений и решите задачу (10–11).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения координат точек пересечения прямой и окружности необходимо решить систему уравнений, составленную из их уравнений:

$ \begin{cases} y = 2 + x \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения (уравнения прямой) во второе уравнение (уравнение окружности):

$x^2 + (2 + x)^2 = 10$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + (4 + 4x + x^2) = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 4x + 4 = 10$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$2x^2 + 4x + 4 - 10 = 0$

$2x^2 + 4x - 6 = 0$

Для удобства решения разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Теперь найдем соответствующие ординаты (значения $y$), подставив каждое значение $x$ в уравнение прямой $y = 2 + x$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 2 + 1 = 3$

Следовательно, первая точка пересечения имеет координаты (1; 3).

Для $x_2 = -3$:

$y_2 = 2 + (-3) = -1$

Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты (-3; -1).

Ответ: (1; 3) и (-3; -1).