Номер 11, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 4. Системы уравнений - номер 11, страница 222.

Условие.

11 Найдите стороны прямоугольника, площадь которого равна $24 \text{ см}^2$, а периметр равен $20 \text{ см}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника в сантиметрах.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию задачи, площадь равна 24 см², следовательно, мы можем составить первое уравнение:
$a \cdot b = 24$

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию, периметр равен 20 см, следовательно, мы можем составить второе уравнение:
$2(a + b) = 20$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} a \cdot b = 24 \\ 2(a + b) = 20 \end{cases} $

Упростим второе уравнение системы, разделив обе его части на 2:
$a + b = 10$

Теперь система уравнений выглядит следующим образом:
$ \begin{cases} a \cdot b = 24 \\ a + b = 10 \end{cases} $

Данная система является симметрической и, согласно обратной теореме Виета, ее решения ($a$ и $b$) являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 10x + 24 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$

Так как дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных корня:
$x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Корни уравнения $x_1 = 6$ и $x_2 = 4$ и являются сторонами искомого прямоугольника. То есть, одна сторона равна 6 см, а другая — 4 см.

Проверим найденные значения:
Площадь: $S = 6 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$. (Верно)
Периметр: $P = 2(6 \text{ см} + 4 \text{ см}) = 2 \cdot 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$. (Верно)

Ответ: Стороны прямоугольника равны 4 см и 6 см.