Страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

11 На примере системы уравнений $\begin{cases} 3x - 4y = 5 \\ x - 3y = 0 \end{cases}$ расскажите, как решают

систему методом подстановки.

Метод подстановки для решения системы уравнений заключается в том, чтобы из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую, а затем подставить полученное выражение в другое уравнение. Это позволяет свести систему двух уравнений с двумя переменными к одному уравнению с одной переменной. Рассмотрим этот метод на примере системы $\begin{cases} 3x - 4y = 5 \\ x - 3y = 0 \end{cases}$.

1. Выражаем одну переменную через другую.
Внимательно посмотрим на систему. Из второго уравнения, $x - 3y = 0$, проще всего выразить переменную $x$, так как ее коэффициент равен 1. Для этого перенесем $-3y$ в правую часть уравнения, поменяв знак.
$x = 3y$

2. Подставляем полученное выражение в другое уравнение.
Теперь подставим полученное на первом шаге выражение $x = 3y$ в первое уравнение системы $3x - 4y = 5$. Вместо $x$ подставляем $3y$.
$3(3y) - 4y = 5$

3. Решаем уравнение с одной переменной.
Мы получили уравнение, в котором есть только одна переменная — $y$. Решим его. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.
$9y - 4y = 5$
$5y = 5$
Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 5.
$y = \frac{5}{5}$
$y = 1$

4. Находим значение второй переменной.
Теперь, когда мы знаем значение $y$, мы можем найти значение $x$. Для этого вернемся к выражению из шага 1: $x = 3y$. Подставим в него найденное значение $y = 1$.
$x = 3 \cdot 1$
$x = 3$

5. Проверка и запись ответа.
Решением системы является пара чисел $(x; y)$. В нашем случае это $(3; 1)$. Чтобы убедиться в правильности решения, можно подставить найденные значения в оба исходных уравнения:
Для $3x - 4y = 5$: $3(3) - 4(1) = 9 - 4 = 5$. Верно.
Для $x - 3y = 0$: $3 - 3(1) = 3 - 3 = 0$. Верно.
Решение найдено правильно.

Ответ: $(3; 1)$

1 Найдите какие-нибудь два решения уравнения $7x + 2y = 14$.

Для нахождения решений уравнения $7x + 2y = 14$ необходимо найти пары значений $(x, y)$, которые удовлетворяют этому равенству. Поскольку это линейное уравнение с двумя переменными, оно имеет бесконечное количество решений. Мы можем найти два из них, поочередно подставляя удобные значения для одной из переменных.

Найдем первое решение.
Выберем простое значение для $x$, например, $x = 0$. Подставим его в уравнение:
$7 \cdot 0 + 2y = 14$
$0 + 2y = 14$
$2y = 14$
Теперь решим уравнение относительно $y$:
$y = \frac{14}{2} = 7$
Таким образом, первая пара чисел, являющаяся решением, — это $(0; 7)$.

Найдем второе решение.
Теперь выберем простое значение для $y$, например, $y = 0$. Подставим его в уравнение:
$7x + 2 \cdot 0 = 14$
$7x + 0 = 14$
$7x = 14$
Решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{14}{7} = 2$
Таким образом, вторая пара чисел, являющаяся решением, — это $(2; 0)$.

Мы нашли два решения уравнения. Для проверки можно подставить эти пары в исходное уравнение:
Проверка для $(0; 7)$: $7(0) + 2(7) = 0 + 14 = 14$. Верно.
Проверка для $(2; 0)$: $7(2) + 2(0) = 14 + 0 = 14$. Верно.
Оба решения верны.
Ответ: $(0; 7)$ и $(2; 0)$.

2 Является ли решением уравнения $xy - x = 18$ пара чисел: $(-3; -5)$, $(-5; -3)$, $(2; 10)$?

Чтобы проверить, является ли пара чисел решением уравнения, нужно подставить значения $x$ (первое число в паре) и $y$ (второе число в паре) в уравнение $xy - x = 18$ и проверить, получается ли в результате верное числовое равенство.

(-3; -5)

Подставляем $x = -3$ и $y = -5$ в левую часть уравнения:

$xy - x = (-3) \cdot (-5) - (-3) = 15 + 3 = 18$

Так как левая часть уравнения равна правой ($18 = 18$), то пара чисел является решением.

Ответ: да, является.

(-5; -3)

Подставляем $x = -5$ и $y = -3$ в левую часть уравнения:

$xy - x = (-5) \cdot (-3) - (-5) = 15 + 5 = 20$

Так как левая часть уравнения не равна правой ($20 \ne 18$), то пара чисел не является решением.

Ответ: нет, не является.

(2; 10)

Подставляем $x = 2$ и $y = 10$ в левую часть уравнения:

$xy - x = 2 \cdot 10 - 2 = 20 - 2 = 18$

Так как левая часть уравнения равна правой ($18 = 18$), то пара чисел является решением.

Ответ: да, является.

3 Проходит ли прямая $3x - 4y = 48$ через точку $A(20; 2)$? через точку $B(24; 6)$?

Чтобы определить, проходит ли прямая через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки в уравнение прямой. Если в результате подстановки мы получим верное числовое равенство, то точка принадлежит прямой. В противном случае — не принадлежит.

Уравнение прямой: $3x - 4y = 48$.

Проверка для точки A(20; 2)

Координаты точки A: $x = 20$, $y = 2$.

Подставляем значения $x$ и $y$ в левую часть уравнения:

$3 \cdot 20 - 4 \cdot 2 = 60 - 8 = 52$

Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения:

$52 \neq 48$

Так как равенство неверно, прямая не проходит через точку A(20; 2).

Ответ: нет.

Проверка для точки B(24; 6)

Проведем аналогичную проверку для точки B с координатами $x = 24$ и $y = 6$.

Подставляем значения $x$ и $y$ в левую часть уравнения прямой:

$3 \cdot 24 - 4 \cdot 6 = 72 - 24 = 48$

Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения:

$48 = 48$

Так как равенство верно, прямая проходит через точку B(24; 6).

Ответ: да.

4 Вычислите координаты точек пересечения прямой $4x - 5y = 10$ с осями координат.

Чтобы найти координаты точек пересечения прямой с осями координат, необходимо найти точки на прямой, у которых одна из координат равна нулю. Уравнение прямой: $4x - 5y = 10$.

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox)

Точка пересечения с осью Ox имеет ординату (координату $y$) равную нулю. Подставим значение $y = 0$ в уравнение прямой:

$4x - 5 \cdot 0 = 10$

$4x - 0 = 10$

$4x = 10$

$x = \frac{10}{4}$

$x = 2.5$

Следовательно, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(2.5; 0)$.

Ответ: $(2.5; 0)$.

Пересечение с осью ординат (осью Oy)

Точка пересечения с осью Oy имеет абсциссу (координату $x$) равную нулю. Подставим значение $x = 0$ в уравнение прямой:

$4 \cdot 0 - 5y = 10$

$0 - 5y = 10$

$-5y = 10$

$y = \frac{10}{-5}$

$y = -2$

Следовательно, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; -2)$.

Ответ: $(0; -2)$.

5 Постройте график уравнения:

а) $9x - 3y = 6$;

б) $y = -4x + 2$;

в) $y = \frac{1}{3}x$;

г) $y = -x$;

д) $y = -5$;

е) $x = 4$.

а) Данное уравнение $9x - 3y = 6$ является линейным уравнением с двумя переменными. Графиком такого уравнения является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.
Сначала выразим $y$ через $x$:
$-3y = 6 - 9x$
$3y = 9x - 6$
$y = \frac{9x - 6}{3}$
$y = 3x - 2$
Теперь найдем координаты двух точек, подставляя произвольные значения $x$.
1. Если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0 - 2 = -2$. Получили точку $(0, -2)$.
2. Если $x = 2$, то $y = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$. Получили точку $(2, 4)$.
Чтобы построить график, нужно отметить на координатной плоскости точки $(0, -2)$ и $(2, 4)$ и провести через них прямую.
Ответ: Графиком уравнения является прямая линия, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(2, 4)$.

б) Уравнение $y = -4x + 2$ — это линейная функция, график которой — прямая линия. Уравнение уже представлено в виде $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -4$, а $b=2$ — ордината точки пересечения с осью $OY$.
Для построения графика найдем две точки.
1. Точка пересечения с осью $OY$ имеет абсциссу $x=0$. При $x = 0$, $y = -4 \cdot 0 + 2 = 2$. Получили точку $(0, 2)$.
2. Возьмем $x = 1$. Тогда $y = -4 \cdot 1 + 2 = -2$. Получили точку $(1, -2)$.
Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, 2)$ и $(1, -2)$ и проводим через них прямую.
Ответ: Графиком уравнения является прямая линия, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(1, -2)$.

в) Уравнение $y = \frac{1}{3}x$ — это прямая пропорциональность, частный случай линейной функции, где $b=0$. График такой функции — прямая, проходящая через начало координат.
1. Одна точка нам уже известна — это начало координат $(0, 0)$.
2. Найдем вторую точку. Чтобы избежать дробных координат, удобно взять $x$, кратное 3. Например, возьмем $x = 3$. Тогда $y = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$. Получили точку $(3, 1)$.
Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, 0)$ и $(3, 1)$ и проводим через них прямую.
Ответ: Графиком уравнения является прямая линия, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и точку $(3, 1)$.

г) Уравнение $y = -x$ также является прямой пропорциональностью ($k=-1, b=0$). График — прямая, проходящая через начало координат. Эта прямая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов.
1. Одна точка — начало координат $(0, 0)$.
2. Найдем вторую точку. Возьмем $x = 1$. Тогда $y = -1$. Получили точку $(1, -1)$.
Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, 0)$ и $(1, -1)$ и проводим через них прямую.
Ответ: Графиком уравнения является прямая линия, являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей и проходящая через точки $(0, 0)$ и $(1, -1)$.

д) Уравнение $y = -5$ задает прямую, на которой ордината ($y$) любой точки равна -5, а абсцисса ($x$) может быть любой.
Графиком такого уравнения является прямая, параллельная оси абсцисс ($OX$) и проходящая через точку $(0, -5)$ на оси ординат.
Примеры точек на этой прямой: $(-2, -5)$, $(0, -5)$, $(3, -5)$.
Ответ: Графиком уравнения является прямая, параллельная оси $OX$ и проходящая через точку $(0, -5)$.

е) Уравнение $x = 4$ задает прямую, на которой абсцисса ($x$) любой точки равна 4, а ордината ($y$) может быть любой.
Графиком такого уравнения является прямая, параллельная оси ординат ($OY$) и проходящая через точку $(4, 0)$ на оси абсцисс.
Примеры точек на этой прямой: $(4, -1)$, $(4, 0)$, $(4, 5)$.
Ответ: Графиком уравнения является прямая, параллельная оси $OY$ и проходящая через точку $(4, 0)$.

6 Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} 5x + 2y = 8 \\ 3x - y = 7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x + 4y = 13 \\ 5x + 2y = 17; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x - y = 5 \\ xy = 14. \end{cases}$

a)
Дана система линейных уравнений:
$ \begin{cases} 5x + 2y = 8 \\ 3x - y = 7 \end{cases} $
Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим y через x:
$3x - y = 7$
$y = 3x - 7$
Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение системы:
$5x + 2(3x - 7) = 8$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно x:
$5x + 6x - 14 = 8$
$11x = 8 + 14$
$11x = 22$
$x = \frac{22}{11}$
$x = 2$
Теперь, зная значение x, найдем соответствующее значение y, подставив $x = 2$ в выражение $y = 3x - 7$:
$y = 3(2) - 7$
$y = 6 - 7$
$y = -1$
Проверим найденное решение $(2; -1)$, подставив его в оба исходных уравнения:
$5(2) + 2(-1) = 10 - 2 = 8$ (верно)
$3(2) - (-1) = 6 + 1 = 7$ (верно)
Ответ: $(2; -1)$

б)
Дана система линейных уравнений:
$ \begin{cases} 3x + 4y = 13 \\ 5x + 2y = 17 \end{cases} $
Решим эту систему методом сложения (исключения). Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными по знаку:
$-2 \cdot (5x + 2y) = -2 \cdot 17$
$-10x - 4y = -34$
Теперь сложим почленно первое уравнение ($3x + 4y = 13$) с полученным новым уравнением:
$(3x + 4y) + (-10x - 4y) = 13 + (-34)$
$3x - 10x = -21$
$-7x = -21$
$x = \frac{-21}{-7}$
$x = 3$
Подставим найденное значение $x = 3$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$5(3) + 2y = 17$
$15 + 2y = 17$
$2y = 17 - 15$
$2y = 2$
$y = 1$
Проверим найденное решение $(3; 1)$:
$3(3) + 4(1) = 9 + 4 = 13$ (верно)
$5(3) + 2(1) = 15 + 2 = 17$ (верно)
Ответ: $(3; 1)$

в)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 5 \\ xy = 14 \end{cases} $
Это нелинейная система, решим ее методом подстановки. Из первого уравнения выразим x через y:
$x = 5 + y$
Подставим это выражение для x во второе уравнение:
$(5 + y)y = 14$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$5y + y^2 = 14$
$y^2 + 5y - 14 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение -14. Этим условиям удовлетворяют числа -7 и 2:
$y_1 = -7$, $y_2 = 2$
Теперь найдем соответствующие значения x для каждого корня y, используя формулу $x = 5 + y$:
1) Если $y_1 = -7$, то $x_1 = 5 + (-7) = -2$. Получаем первую пару решений: $(-2; -7)$.
2) Если $y_2 = 2$, то $x_2 = 5 + 2 = 7$. Получаем вторую пару решений: $(7; 2)$.
Проверим оба решения:
Для $(-2; -7)$:
$x - y = -2 - (-7) = 5$ (верно)
$xy = (-2) \cdot (-7) = 14$ (верно)
Для $(7; 2)$:
$x - y = 7 - 2 = 5$ (верно)
$xy = 7 \cdot 2 = 14$ (верно)
Ответ: $(-2; -7), (7; 2)$

7 Пользуясь рисунком 4.45, решите систему уравнений

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 2. \end{cases}$$

Рис. 4.45

6 а)

Дана система линейных уравнений:
$ \begin{cases} 5x + 2y = 8 \\ 3x - y = 7 \end{cases} $
Для решения системы используем метод подстановки. Выразим y из второго уравнения:
$3x - y = 7 \implies y = 3x - 7$
Подставим полученное выражение для y в первое уравнение:
$5x + 2(3x - 7) = 8$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно x:
$5x + 6x - 14 = 8$
$11x = 8 + 14$
$11x = 22$
$x = 2$
Теперь найдем значение y, подставив значение x в выражение $y = 3x - 7$:
$y = 3(2) - 7 = 6 - 7 = -1$
Проверим решение, подставив найденные значения в оба исходных уравнения:
$5(2) + 2(-1) = 10 - 2 = 8$ (Верно)
$3(2) - (-1) = 6 + 1 = 7$ (Верно)
Ответ: $(2; -1)$

6 б)

Дана система линейных уравнений:
$ \begin{cases} 3x + 4y = 13 \\ 5x + 2y = 17 \end{cases} $
Для решения системы используем метод сложения (вычитания). Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при y совпали:
$ \begin{cases} 3x + 4y = 13 \\ 10x + 4y = 34 \end{cases} $
Вычтем из второго уравнения первое:
$(10x + 4y) - (3x + 4y) = 34 - 13$
$7x = 21$
$x = 3$
Теперь найдем значение y, подставив значение x в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$5(3) + 2y = 17$
$15 + 2y = 17$
$2y = 17 - 15$
$2y = 2$
$y = 1$
Проверим решение, подставив найденные значения в оба исходных уравнения:
$3(3) + 4(1) = 9 + 4 = 13$ (Верно)
$5(3) + 2(1) = 15 + 2 = 17$ (Верно)
Ответ: $(3; 1)$

6 в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 5 \\ xy = 14 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Выразим x из первого уравнения:
$x = 5 + y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(5 + y)y = 14$
$5y + y^2 = 14$
$y^2 + 5y - 14 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-14) = 25 + 56 = 81$.
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 \pm 9}{2}$
$y_1 = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
$y_2 = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Теперь найдем соответствующие значения x для каждого y:
1) Если $y_1 = -7$, то $x_1 = 5 + y_1 = 5 + (-7) = -2$. Получаем пару $(-2; -7)$.
2) Если $y_2 = 2$, то $x_2 = 5 + y_2 = 5 + 2 = 7$. Получаем пару $(7; 2)$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(-2; -7), (7; 2)$

7

Требуется решить систему уравнений, используя рисунок:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 2 \end{cases} $
Решением системы уравнений являются координаты точек пересечения их графиков.
Графиком уравнения $x^2 + y^2 = 10$ является окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом $R = \sqrt{10}$.
Графиком уравнения $x + y = 2$ (или $y = -x + 2$) является прямая.
На рисунке 4.45 изображены графики этих уравнений. Найдем координаты точек их пересечения по графику.
Из рисунка видно, что графики пересекаются в двух точках.
Первая точка пересечения имеет координаты $x = 3, y = -1$.
Вторая точка пересечения имеет координаты $x = -1, y = 3$.
Проверим эти точки, подставив их в уравнения системы:
Для точки $(3; -1)$: $3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$ и $3 + (-1) = 2$. Оба равенства верны.
Для точки $(-1; 3)$: $(-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$ и $-1 + 3 = 2$. Оба равенства верны.
Обе точки являются решениями системы.
Ответ: $(3; -1), (-1; 3)$

8

Чтобы вычислить координаты точки пересечения прямых $3x - y = 2$ и $2x - y = 3$, нужно решить систему уравнений:
$ \begin{cases} 3x - y = 2 \\ 2x - y = 3 \end{cases} $
Используем метод вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:
$(3x - y) - (2x - y) = 2 - 3$
$3x - y - 2x + y = -1$
$x = -1$
Подставим найденное значение $x = -1$ в любое из уравнений, например, в первое:
$3(-1) - y = 2$
$-3 - y = 2$
$-y = 2 + 3$
$-y = 5$
$y = -5$
Координаты точки пересечения прямых: $(-1; -5)$.
Ответ: $(-1; -5)$

8 Вычислите координаты точки пересечения прямых $3x - y = 2$ и $2x - y = 3$.

Для того чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, необходимо решить систему линейных уравнений, заданных этими прямыми.

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} 3x - y = 2 \\ 2x - y = 3 \end{cases} $$

Эту систему удобно решить методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $y$:
$(3x - y) - (2x - y) = 2 - 3$
Раскроем скобки:
$3x - y - 2x + y = -1$
Приведем подобные члены:
$x = -1$

Теперь, когда мы нашли значение $x$, подставим его в любое из исходных уравнений для нахождения $y$. Используем первое уравнение:
$3x - y = 2$
$3(-1) - y = 2$
$-3 - y = 2$
Перенесем $-3$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$-y = 2 + 3$
$-y = 5$
$y = -5$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых: $(-1, -5)$.

Для уверенности выполним проверку, подставив найденные значения $x$ и $y$ во второе уравнение:
$2x - y = 3$
$2(-1) - (-5) = 3$
$-2 + 5 = 3$
$3 = 3$
Равенство верно, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(-1, -5)$.

9 Вычислите координаты точки пересечения прямой $y = 2 + x$ и окружности $x^2 + y^2 = 10$. Рис. 4.45

Составьте систему уравнений и решите задачу (10–11).

Для нахождения координат точек пересечения прямой и окружности необходимо решить систему уравнений, составленную из их уравнений:

$ \begin{cases} y = 2 + x \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения (уравнения прямой) во второе уравнение (уравнение окружности):

$x^2 + (2 + x)^2 = 10$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + (4 + 4x + x^2) = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 4x + 4 = 10$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$2x^2 + 4x + 4 - 10 = 0$

$2x^2 + 4x - 6 = 0$

Для удобства решения разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Теперь найдем соответствующие ординаты (значения $y$), подставив каждое значение $x$ в уравнение прямой $y = 2 + x$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 2 + 1 = 3$

Следовательно, первая точка пересечения имеет координаты (1; 3).

Для $x_2 = -3$:

$y_2 = 2 + (-3) = -1$

Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты (-3; -1).

Ответ: (1; 3) и (-3; -1).

10 Три карандаша и пять авторучек вместе стоят 50 р., а шесть карандашей и три авторучки вместе стоят 51 р. Сколько стоит карандаш и авторучка в отдельности?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $k$ — это стоимость одного карандаша в рублях, а $a$ — это стоимость одной авторучки в рублях.

Из условия, что три карандаша и пять авторучек вместе стоят 50 рублей, мы можем составить первое уравнение:

$3k + 5a = 50$

Из условия, что шесть карандашей и три авторучки вместе стоят 51 рубль, мы можем составить второе уравнение:

$6k + 3a = 51$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$$ \begin{cases} 3k + 5a = 50 \\ 6k + 3a = 51 \end{cases} $$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим обе части первого уравнения на 2, чтобы коэффициенты при переменной $k$ в обоих уравнениях стали одинаковыми.

$2 \cdot (3k + 5a) = 2 \cdot 50$

$6k + 10a = 100$

Теперь вычтем второе уравнение системы ($6k + 3a = 51$) из полученного нового уравнения ($6k + 10a = 100$):

$(6k + 10a) - (6k + 3a) = 100 - 51$

$7a = 49$

Отсюда мы можем найти стоимость одной авторучки:

$a = \frac{49}{7} = 7$

Итак, стоимость одной авторучки составляет 7 рублей.

Теперь подставим найденное значение $a = 7$ в любое из исходных уравнений, например, в первое, чтобы найти стоимость одного карандаша $k$:

$3k + 5 \cdot 7 = 50$

$3k + 35 = 50$

$3k = 50 - 35$

$3k = 15$

$k = \frac{15}{3} = 5$

Таким образом, стоимость одного карандаша составляет 5 рублей.

Проведем проверку, подставив найденные значения в оба исходных условия:

1. $3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 = 15 + 35 = 50$ рублей (верно).

2. $6 \cdot 5 + 3 \cdot 7 = 30 + 21 = 51$ рубль (верно).

Ответ: один карандаш стоит 5 рублей, а одна авторучка — 7 рублей.

11 Найдите стороны прямоугольника, площадь которого равна $24 \text{ см}^2$, а периметр равен $20 \text{ см}$.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника в сантиметрах.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию задачи, площадь равна 24 см², следовательно, мы можем составить первое уравнение:
$a \cdot b = 24$

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию, периметр равен 20 см, следовательно, мы можем составить второе уравнение:
$2(a + b) = 20$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} a \cdot b = 24 \\ 2(a + b) = 20 \end{cases} $

Упростим второе уравнение системы, разделив обе его части на 2:
$a + b = 10$

Теперь система уравнений выглядит следующим образом:
$ \begin{cases} a \cdot b = 24 \\ a + b = 10 \end{cases} $

Данная система является симметрической и, согласно обратной теореме Виета, ее решения ($a$ и $b$) являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 10x + 24 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$

Так как дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных корня:
$x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Корни уравнения $x_1 = 6$ и $x_2 = 4$ и являются сторонами искомого прямоугольника. То есть, одна сторона равна 6 см, а другая — 4 см.

Проверим найденные значения:
Площадь: $S = 6 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$. (Верно)
Периметр: $P = 2(6 \text{ см} + 4 \text{ см}) = 2 \cdot 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$. (Верно)

Ответ: Стороны прямоугольника равны 4 см и 6 см.