Номер 10, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 4. Системы уравнений - номер 10, страница 222.

Условие.

10 Три карандаша и пять авторучек вместе стоят 50 р., а шесть карандашей и три авторучки вместе стоят 51 р. Сколько стоит карандаш и авторучка в отдельности?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $k$ — это стоимость одного карандаша в рублях, а $a$ — это стоимость одной авторучки в рублях.

Из условия, что три карандаша и пять авторучек вместе стоят 50 рублей, мы можем составить первое уравнение:

$3k + 5a = 50$

Из условия, что шесть карандашей и три авторучки вместе стоят 51 рубль, мы можем составить второе уравнение:

$6k + 3a = 51$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$$ \begin{cases} 3k + 5a = 50 \\ 6k + 3a = 51 \end{cases} $$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим обе части первого уравнения на 2, чтобы коэффициенты при переменной $k$ в обоих уравнениях стали одинаковыми.

$2 \cdot (3k + 5a) = 2 \cdot 50$

$6k + 10a = 100$

Теперь вычтем второе уравнение системы ($6k + 3a = 51$) из полученного нового уравнения ($6k + 10a = 100$):

$(6k + 10a) - (6k + 3a) = 100 - 51$

$7a = 49$

Отсюда мы можем найти стоимость одной авторучки:

$a = \frac{49}{7} = 7$

Итак, стоимость одной авторучки составляет 7 рублей.

Теперь подставим найденное значение $a = 7$ в любое из исходных уравнений, например, в первое, чтобы найти стоимость одного карандаша $k$:

$3k + 5 \cdot 7 = 50$

$3k + 35 = 50$

$3k = 50 - 35$

$3k = 15$

$k = \frac{15}{3} = 5$

Таким образом, стоимость одного карандаша составляет 5 рублей.

Проведем проверку, подставив найденные значения в оба исходных условия:

1. $3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 = 15 + 35 = 50$ рублей (верно).

2. $6 \cdot 5 + 3 \cdot 7 = 30 + 21 = 51$ рубль (верно).

Ответ: один карандаш стоит 5 рублей, а одна авторучка — 7 рублей.