Номер 7, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 4. Системы уравнений - номер 7, страница 222.

Условие.

7 Пользуясь рисунком 4.45, решите систему уравнений

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 2. \end{cases}$$

Рис. 4.45

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

6 а)

Дана система линейных уравнений:
$ \begin{cases} 5x + 2y = 8 \\ 3x - y = 7 \end{cases} $
Для решения системы используем метод подстановки. Выразим y из второго уравнения:
$3x - y = 7 \implies y = 3x - 7$
Подставим полученное выражение для y в первое уравнение:
$5x + 2(3x - 7) = 8$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно x:
$5x + 6x - 14 = 8$
$11x = 8 + 14$
$11x = 22$
$x = 2$
Теперь найдем значение y, подставив значение x в выражение $y = 3x - 7$:
$y = 3(2) - 7 = 6 - 7 = -1$
Проверим решение, подставив найденные значения в оба исходных уравнения:
$5(2) + 2(-1) = 10 - 2 = 8$ (Верно)
$3(2) - (-1) = 6 + 1 = 7$ (Верно)
Ответ: $(2; -1)$

6 б)

Дана система линейных уравнений:
$ \begin{cases} 3x + 4y = 13 \\ 5x + 2y = 17 \end{cases} $
Для решения системы используем метод сложения (вычитания). Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при y совпали:
$ \begin{cases} 3x + 4y = 13 \\ 10x + 4y = 34 \end{cases} $
Вычтем из второго уравнения первое:
$(10x + 4y) - (3x + 4y) = 34 - 13$
$7x = 21$
$x = 3$
Теперь найдем значение y, подставив значение x в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$5(3) + 2y = 17$
$15 + 2y = 17$
$2y = 17 - 15$
$2y = 2$
$y = 1$
Проверим решение, подставив найденные значения в оба исходных уравнения:
$3(3) + 4(1) = 9 + 4 = 13$ (Верно)
$5(3) + 2(1) = 15 + 2 = 17$ (Верно)
Ответ: $(3; 1)$

6 в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 5 \\ xy = 14 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Выразим x из первого уравнения:
$x = 5 + y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(5 + y)y = 14$
$5y + y^2 = 14$
$y^2 + 5y - 14 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-14) = 25 + 56 = 81$.
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 \pm 9}{2}$
$y_1 = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
$y_2 = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Теперь найдем соответствующие значения x для каждого y:
1) Если $y_1 = -7$, то $x_1 = 5 + y_1 = 5 + (-7) = -2$. Получаем пару $(-2; -7)$.
2) Если $y_2 = 2$, то $x_2 = 5 + y_2 = 5 + 2 = 7$. Получаем пару $(7; 2)$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(-2; -7), (7; 2)$

7

Требуется решить систему уравнений, используя рисунок:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 2 \end{cases} $
Решением системы уравнений являются координаты точек пересечения их графиков.
Графиком уравнения $x^2 + y^2 = 10$ является окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом $R = \sqrt{10}$.
Графиком уравнения $x + y = 2$ (или $y = -x + 2$) является прямая.
На рисунке 4.45 изображены графики этих уравнений. Найдем координаты точек их пересечения по графику.
Из рисунка видно, что графики пересекаются в двух точках.
Первая точка пересечения имеет координаты $x = 3, y = -1$.
Вторая точка пересечения имеет координаты $x = -1, y = 3$.
Проверим эти точки, подставив их в уравнения системы:
Для точки $(3; -1)$: $3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$ и $3 + (-1) = 2$. Оба равенства верны.
Для точки $(-1; 3)$: $(-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$ и $-1 + 3 = 2$. Оба равенства верны.
Обе точки являются решениями системы.
Ответ: $(3; -1), (-1; 3)$

8

Чтобы вычислить координаты точки пересечения прямых $3x - y = 2$ и $2x - y = 3$, нужно решить систему уравнений:
$ \begin{cases} 3x - y = 2 \\ 2x - y = 3 \end{cases} $
Используем метод вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:
$(3x - y) - (2x - y) = 2 - 3$
$3x - y - 2x + y = -1$
$x = -1$
Подставим найденное значение $x = -1$ в любое из уравнений, например, в первое:
$3(-1) - y = 2$
$-3 - y = 2$
$-y = 2 + 3$
$-y = 5$
$y = -5$
Координаты точки пересечения прямых: $(-1; -5)$.
Ответ: $(-1; -5)$