Страница 229 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рассмотрите график на рисунке 5.1. На нём выделены два участка с разной скоростью роста мальчика. Определите, когда мальчик рос быстрее: с 4 до 6 лет или с 6 до 8 лет; с 8 до 10 лет или с 10 до 12 лет.

Для решения этой задачи необходимо проанализировать график зависимости роста мальчика (ось Y) от его возраста (ось X), который не представлен в вопросе. Решение будет основано на общем методе определения скорости роста по графику. Скорость роста на определённом участке — это отношение изменения роста к изменению времени (возраста). Визуально на графике чем круче идёт вверх линия, тем выше скорость роста.

Скорость роста ($V_{роста}$) можно рассчитать по формуле:

$V_{роста} = \frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{h_2 - h_1}{t_2 - t_1}$

где $h_1$ и $h_2$ — рост мальчика в начале и в конце временного промежутка, а $t_1$ и $t_2$ — соответствующий возраст.

Поскольку в задаче все временные интервалы равны 2 годам ($6-4=2$, $8-6=2$ и т.д.), для сравнения скорости роста достаточно сравнить, на сколько сантиметров мальчик вырос за каждый из этих периодов ($\Delta h$).

с 4 до 6 лет или с 6 до 8 лет

1. По графику находим рост мальчика в 4 года ($h_4$), в 6 лет ($h_6$) и в 8 лет ($h_8$).

2. Вычисляем прирост роста за первый период (с 4 до 6 лет): $\Delta h_{4-6} = h_6 - h_4$.

3. Вычисляем прирост роста за второй период (с 6 до 8 лет): $\Delta h_{6-8} = h_8 - h_6$.

4. Сравниваем полученные значения $\Delta h_{4-6}$ и $\Delta h_{6-8}$. В какой период прирост роста был больше, в тот период мальчик рос быстрее.

Например, если по графику $h_4 = 100$ см, $h_6 = 110$ см, а $h_8 = 118$ см, то:

$\Delta h_{4-6} = 110 - 100 = 10$ см.

$\Delta h_{6-8} = 118 - 110 = 8$ см.

В этом гипотетическом примере $10 > 8$, значит, с 4 до 6 лет мальчик рос быстрее.

Ответ: Чтобы дать точный ответ, необходимо посмотреть на график. Мальчик рос быстрее в тот период, в котором разница в росте ($\Delta h$) была больше, или в котором линия графика была круче.

с 8 до 10 лет или с 10 до 12 лет

1. По графику находим рост мальчика в 8 лет ($h_8$), в 10 лет ($h_{10}$) и в 12 лет ($h_{12}$).

2. Вычисляем прирост роста за первый период (с 8 до 10 лет): $\Delta h_{8-10} = h_{10} - h_8$.

3. Вычисляем прирост роста за второй период (с 10 до 12 лет): $\Delta h_{10-12} = h_{12} - h_{10}$.

4. Сравниваем полученные значения $\Delta h_{8-10}$ и $\Delta h_{10-12}$. Где прирост больше, там и скорость роста выше.

Обычно в подростковом возрасте (который может начаться в 10-12 лет) наблюдается скачок роста, поэтому, скорее всего, участок с 10 до 12 лет будет иметь большую скорость роста, а линия графика на этом интервале будет более крутой.

Ответ: Чтобы дать точный ответ, необходимо посмотреть на график. Мальчик рос быстрее в тот период, в котором разница в росте ($\Delta h$) была больше, или в котором линия графика была круче.

Рассмотрите график на рисунке 5.3. Найдите среднюю скорость бега каждого из спортсменов на всей дистанции.

Для решения задачи необходим график с рисунка 5.3, который не был предоставлен. Поскольку без данных с графика дать точный ответ невозможно, ниже приводится общий алгоритм решения и гипотетический пример.

Общий метод нахождения средней скорости по графику

Средняя скорость движения ($v_{ср}$) на всей дистанции вычисляется как отношение всего пройденного пути ($S_{общ}$) ко всему времени движения ($t_{общ}$).

Формула для расчета средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Чтобы определить среднюю скорость каждого спортсмена по графику, необходимо выполнить следующие действия:

1. Для графика каждого спортсмена найти конечную точку, которая соответствует завершению дистанции.
2. Определить координаты этой точки. Значение по оси расстояний (обычно вертикальная ось) — это общий путь $S_{общ}$. Значение по оси времени (обычно горизонтальная ось) — это общее время $t_{общ}$.
3. Подставить найденные значения в формулу и вычислить скорость.

Пример решения на основе гипотетического графика

Предположим, что на рисунке 5.3 представлен график зависимости расстояния $S$ (в метрах) от времени $t$ (в секундах) для двух спортсменов, которые бежали дистанцию 1500 метров.

Средняя скорость первого спортсмена

Допустим, из графика следует, что первый спортсмен пробежал дистанцию $S_{1} = 1500$ м за время $t_{1} = 300$ с.

Тогда его средняя скорость составляет:

$v_{ср1} = \frac{S_{1}}{t_{1}} = \frac{1500 \text{ м}}{300 \text{ с}} = 5$ м/с.

Ответ: 5 м/с.

Средняя скорость второго спортсмена

Допустим, второй спортсмен пробежал ту же дистанцию $S_{2} = 1500$ м, но, судя по его графику, затратил на это время $t_{2} = 375$ с.

Его средняя скорость составляет:

$v_{ср2} = \frac{S_{2}}{t_{2}} = \frac{1500 \text{ м}}{375 \text{ с}} = 4$ м/с.

Ответ: 4 м/с.

Для получения точного решения к вашей задаче необходимо предоставить сам график.

726 На рисунке 5.5 изображён график изменения роста Тани от рождения до 20 лет. Используя график, ответьте на вопросы:

а) Какого роста была Таня в момент рождения? в 1 год? в 5 лет? в 12 лет?

б) К какому возрасту рост Тани достиг 1 м? 1 м 50 см?

в) Когда рост Тани стал вдвое больше её роста при рождении?

г) Укажите промежуток времени, когда Таня росла быстрее всего.

д) Когда Таня росла быстрее — с 4 до 12 лет или с 12 до 20 лет?

Рост, см

Возраст, годы

Рис. 5.5

а) Какого роста была Таня в момент рождения? в 1 год? в 5 лет? в 12 лет?

Чтобы определить рост Тани в определённом возрасте, нужно найти на горизонтальной оси (Возраст, годы) соответствующее значение, подняться от него вертикально до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения двигаться горизонтально влево до вертикальной оси (Рост, см) и определить значение роста.

• В момент рождения (0 лет): Находим на горизонтальной оси точку 0. Соответствующая точка на графике находится на уровне 50 см на вертикальной оси.
• В 1 год: Находим на горизонтальной оси точку 1. Соответствующая точка на графике находится на уровне 80 см.
• В 5 лет: Находим на горизонтальной оси точку 5. Соответствующая точка на графике находится на уровне 110 см.
• В 12 лет: Находим на горизонтальной оси точку 12. Соответствующая точка на графике находится на уровне 150 см.

Ответ: Рост Тани в момент рождения составлял 50 см, в 1 год — 80 см, в 5 лет — 110 см, в 12 лет — 150 см.

б) К какому возрасту рост Тани достиг 1 м? 1 м 50 см?

Для ответа на этот вопрос нужно сначала перевести рост в сантиметры, найти это значение на вертикальной оси, провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения опустить перпендикуляр на горизонтальную ось, чтобы определить возраст.

• 1 м: Переводим в сантиметры: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Находим на вертикальной оси значение 100. Двигаясь от него вправо до графика, находим точку, которая соответствует возрасту 4 года на горизонтальной оси.
• 1 м 50 см: Переводим в сантиметры: $1 \text{ м } 50 \text{ см} = 150 \text{ см}$. Находим на вертикальной оси значение 150. Соответствующая точка на графике указывает на возраст 12 лет.

Ответ: Роста 1 м Таня достигла к 4 годам, а 1 м 50 см — к 12 годам.

в) Когда рост Тани стал вдвое больше её роста при рождении?

Из пункта (а) мы знаем, что рост Тани при рождении составлял 50 см. Нам нужно найти, когда её рост стал вдвое больше.

Вычисляем удвоенный рост: $2 \times 50 \text{ см} = 100 \text{ см}$.

Теперь, как и в пункте (б), находим на графике, в каком возрасте рост Тани достиг 100 см. Это произошло в 4 года.

Ответ: В 4 года.

г) Укажите промежуток времени, когда Таня росла быстрее всего.

Скорость роста на графике отображается крутизной подъёма линии. Чем круче идёт вверх график, тем выше скорость роста. Визуально самый крутой участок графика находится в самом начале, в первый год жизни.

Проверим расчётом:

• С 0 до 1 года: рост увеличился с 50 см до 80 см. Прирост: $80 - 50 = 30$ см.
• С 1 до 2 лет: рост увеличился с 80 см до 90 см. Прирост: $90 - 80 = 10$ см.

Наибольший годовой прирост наблюдался в первый год жизни.

Ответ: Быстрее всего Таня росла в промежутке от рождения до 1 года.

д) Когда Таня росла быстрее — с 4 до 12 лет или с 12 до 20 лет?

Чтобы сравнить скорость роста на двух промежутках, нужно вычислить, на сколько сантиметров Таня выросла за каждый из этих периодов.

• Промежуток с 4 до 12 лет:
  • Рост в 4 года: 100 см.
  • Рост в 12 лет: 150 см.
  • Общий прирост: $150 \text{ см} - 100 \text{ см} = 50 \text{ см}$.
• Промежуток с 12 до 20 лет:
  • Рост в 12 лет: 150 см.
  • Рост в 20 лет: примерно 178 см.
  • Общий прирост: $178 \text{ см} - 150 \text{ см} = 28 \text{ см}$.

Сравниваем общий прирост за каждый период: $50 \text{ см} > 28 \text{ см}$. Следовательно, в период с 4 до 12 лет Таня росла быстрее.

Ответ: Таня росла быстрее с 4 до 12 лет.

727 На рисунке 5.6 изображён график температуры воздуха в городе Весеннем 25 февраля 2012 г. По графику определите:

Ось Y: $T, \;{}^\circ\text{C}$

Ось X: $t, \;\text{ч}$

а) какая температура была в 6 ч; в 11 ч; в 18 ч;

б) в какое время дня температура была $-3\;{}^\circ\text{C}$; $2\;{}^\circ\text{C}$; $4\;{}^\circ\text{C}$;

Рис. 5.6

в) в какое время суток температура была выше $0\;{}^\circ\text{C}$; ниже $0\;{}^\circ\text{C}$;

г) в какое время суток температура повышалась; понижалась; оставалась постоянной;

д) в какое время суток температура была максимальной и в какое время — минимальной;

е) какова была максимальная температура за сутки; минимальная температура за сутки;

ж) в какое время суток температура повышалась с наибольшей скоростью; понижалась с наибольшей скоростью;

з) какова была средняя скорость изменения температуры с 8 до 10 ч; с 0 до 4 ч.

а) какая температура была в 6 ч; в 11 ч; в 18 ч;

Для определения температуры в указанное время находим на горизонтальной оси времени ($t$, ч) нужное значение, а затем по графику определяем соответствующее значение на вертикальной оси температуры ($T$, °C).

• В 6 ч: Находим на оси $t$ значение 6. Двигаясь вертикально вверх до графика, видим, что соответствующая точка имеет координату $T = -6$. Таким образом, температура была –6 °C.
• В 11 ч: Время 11 ч находится ровно посередине между отметками 10 ч и 12 ч. Температура в 10 ч составляла –3 °C, а в 12 ч — 2 °C. Поскольку на этом участке график является прямой линией (температура изменяется равномерно), то температура в 11 ч будет равна среднему арифметическому этих значений: $T(11) = \frac{-3 \text{°C} + 2 \text{°C}}{2} = -0.5 \text{°C}$.
• В 18 ч: Находим на оси $t$ значение 18. Соответствующая точка на графике имеет координату $T = 1$. Таким образом, температура была 1 °C.

Ответ: в 6 ч температура была –6 °C; в 11 ч — –0.5 °C; в 18 ч — 1 °C.

б) в какое время дня температура была –3 °C; 2 °C; 4 °C;

Для определения времени, когда температура достигала заданного значения, находим это значение на вертикальной оси $T$ и определяем, каким моментам времени $t$ соответствуют точки пересечения горизонтальной линии с графиком.

• Температура –3 °C: Горизонтальная линия $T = -3$ пересекает график в точке, где $t = 10$ ч. Кроме того, график совпадает с этой линией на всем промежутке времени с 20 ч до 24 ч.
• Температура 2 °C: Горизонтальная линия $T = 2$ пересекает график в двух точках. Первая точка соответствует времени $t = 12$ ч. Вторая точка находится на отрезке между 16 ч ($T=3$ °C) и 18 ч ($T=1$ °C). Так как значение 2 °C является средним арифметическим между 3 °C и 1 °C, то и время будет средним арифметическим между 16 ч и 18 ч, то есть $t = \frac{16+18}{2} = 17$ ч.
• Температура 4 °C: Горизонтальная линия $T = 4$ касается графика в его наивысшей точке (вершине). Это происходит в момент времени $t = 14$ ч.

Ответ: температура была –3 °C в 10 ч и в период с 20 ч до 24 ч; 2 °C — в 12 ч и 17 ч; 4 °C — в 14 ч.

в) в какое время суток температура была выше 0 °C; ниже 0 °C;

• Температура выше 0 °C ($T > 0$): Это происходит, когда график расположен выше оси времени ($T=0$). Найдем точки пересечения графика с осью $T=0$.
  Первое пересечение находится на интервале от 10 ч ($T=-3$ °C) до 12 ч ($T=2$ °C). Найдем точное время $t$ из уравнения прямой: $\frac{t - 10}{12 - 10} = \frac{0 - (-3)}{2 - (-3)}$, что дает $\frac{t - 10}{2} = \frac{3}{5}$, откуда $t = 10 + 1.2 = 11.2$ ч (11 ч 12 мин).
  Второе пересечение — на интервале от 18 ч ($T=1$ °C) до 20 ч ($T=-3$ °C). Аналогично: $\frac{t - 18}{20 - 18} = \frac{0 - 1}{-3 - 1}$, что дает $\frac{t - 18}{2} = \frac{1}{4}$, откуда $t = 18 + 0.5 = 18.5$ ч (18 ч 30 мин).
  Следовательно, температура была выше 0 °C между этими моментами времени.
• Температура ниже 0 °C ($T < 0$): Это происходит, когда график расположен ниже оси времени. Это соответствует временным промежуткам до первого пересечения с осью $T=0$ и после второго.

Ответ: температура была выше 0 °C в интервале времени с 11 ч 12 мин до 18 ч 30 мин; ниже 0 °C — в интервалах с 0 ч до 11 ч 12 мин и с 18 ч 30 мин до 24 ч.

г) в какое время суток температура повышалась; понижалась; оставалась постоянной;

Анализируем направление движения графика по оси времени.

• Повышалась: График идет вверх, что соответствует увеличению температуры. Это происходит на временном интервале с 8 ч до 14 ч.
• Понижалась: График идет вниз, что соответствует уменьшению температуры. Это происходит на интервалах с 0 ч до 4 ч и с 14 ч до 20 ч.
• Оставалась постоянной: График представляет собой горизонтальную линию, температура не меняется. Это происходит на интервалах с 4 ч до 8 ч (при $T=-6$ °C) и с 20 ч до 24 ч (при $T=-3$ °C).

Ответ: температура повышалась с 8 ч до 14 ч; понижалась с 0 ч до 4 ч и с 14 ч до 20 ч; оставалась постоянной с 4 ч до 8 ч и с 20 ч до 24 ч.

д) в какое время суток температура была максимальной и в какое время — минимальной;

• Максимальная температура: Находим самую высокую точку на графике. Это точка $(14, 4)$. Следовательно, максимальная температура наблюдалась в 14 ч.
• Минимальная температура: Находим самую низкую часть графика. Это горизонтальный отрезок на уровне $T=-6$ °C, который длится с 4 ч до 8 ч.

Ответ: максимальной температура была в 14 ч; минимальной — в период с 4 ч до 8 ч.

е) какова была максимальная температура за сутки; минимальная температура за сутки;

• Максимальная температура: Это значение координаты $T$ в самой высокой точке графика. Максимальное значение равно 4 °C.
• Минимальная температура: Это значение координаты $T$ в самой низкой точке графика. Минимальное значение равно –6 °C.

Ответ: максимальная температура за сутки была 4 °C; минимальная — –6 °C.

ж) в какое время суток температура повышалась с наибольшей скоростью; понижалась с наибольшей скоростью;

Скорость изменения температуры соответствует крутизне (наклону) графика. Нам нужно найти самый крутой участок подъема и самый крутой участок спуска.

• Наибольшая скорость повышения: Рассчитаем скорость (наклон) на участках роста (с 8 до 14 ч).
  • С 8 ч до 10 ч: скорость = $\frac{-3 - (-6)}{10 - 8} = 1.5$ °C/ч.
  • С 10 ч до 12 ч: скорость = $\frac{2 - (-3)}{12 - 10} = 2.5$ °C/ч.
  • С 12 ч до 14 ч: скорость = $\frac{4 - 2}{14 - 12} = 1$ °C/ч.
  Наибольшая скорость повышения равна 2.5 °C/ч.
• Наибольшая скорость понижения: Рассчитаем модуль скорости (модуль наклона) на участках убывания (с 0 до 4 ч и с 14 до 20 ч).
  • С 0 ч до 4 ч: скорость = $|\frac{-6 - (-4)}{4 - 0}| = 0.5$ °C/ч.
  • С 14 ч до 16 ч: скорость = $|\frac{3 - 4}{16 - 14}| = 0.5$ °C/ч.
  • С 16 ч до 18 ч: скорость = $|\frac{1 - 3}{18 - 16}| = 1$ °C/ч.
  • С 18 ч до 20 ч: скорость = $|\frac{-3 - 1}{20 - 18}| = 2$ °C/ч.
  Наибольшая скорость понижения равна 2 °C/ч.

Ответ: температура повышалась с наибольшей скоростью (2.5 °C/ч) в период с 10 ч до 12 ч; понижалась с наибольшей скоростью (2 °C/ч) в период с 18 ч до 20 ч.

з) какова была средняя скорость изменения температуры с 8 до 10 ч; с 0 до 4 ч.

Средняя скорость изменения температуры на промежутке от $t_1$ до $t_2$ вычисляется по формуле $v_{ср} = \frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{T(t_2) - T(t_1)}{t_2 - t_1}$.

• С 8 до 10 ч: $t_1 = 8$ ч, $T(8) = -6$ °C; $t_2 = 10$ ч, $T(10) = -3$ °C.
  $v_{ср} = \frac{-3 - (-6)}{10 - 8} = \frac{3}{2} = 1.5$ °C/ч.
• С 0 до 4 ч: $t_1 = 0$ ч, $T(0) = -4$ °C; $t_2 = 4$ ч, $T(4) = -6$ °C.
  $v_{ср} = \frac{-6 - (-4)}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -0.5$ °C/ч.

Ответ: средняя скорость изменения температуры с 8 до 10 ч была 1.5 °C/ч; с 0 до 4 ч — –0.5 °C/ч.