Страница 232 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2) Какой из этих графиков будет соответствовать описанной ситуации, если на вертикальной оси отмечается расстояние, пройденное туристом во время своего похода?

s, км

6 — Андрей

4 —

2 —

0 20 40 60 t, мин

Вадим

Рис. 5.10

731 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Андрей и Вадим совершили утреннюю пробежку по одному и тому же маршруту. На рисунке 5.10 изображены графики, показывающие зависимость расстояния $s$, которое пробежал каждый из них, от времени бега $t$. Используя графики, определите, какие из следующих утверждений верны, а какие нет.

1) Длина дистанции 6 км.

2) Андрей и Вадим стартовали одновременно.

3) Вадим перегнал Андрея через 30 мин после своего старта.

4) Андрей догнал Вадима в середине дистанции.

5) Первые 2 км Андрей и Вадим бежали с одинаковой скоростью.

6) Андрей пробежал всю дистанцию на 10 мин быстрее Вадима.

Запишите ещё несколько верных утверждений, описывающих утреннюю пробежку Андрея и Вадима.

1) Длина дистанции 6 км. Решение: На графике вертикальная ось $s$ показывает пройденное расстояние. Оба графика, и для Андрея, и для Вадима, заканчиваются на максимальной отметке $s=6$ км. Это значит, что оба они пробежали дистанцию длиной 6 км.
Ответ: Верно.

2) Андрей и Вадим стартовали одновременно. Решение: Старт соответствует началу движения, то есть точке на оси времени $t$, где расстояние $s$ начинает увеличиваться с нуля. График Андрея начинается в точке $(0,0)$, то есть он стартовал в момент времени $t=0$ мин. График Вадима начинается в точке $(10,0)$, он стартовал в момент времени $t=10$ мин. Так как $0 \neq 10$, они стартовали в разное время.
Ответ: Неверно.

3) Вадим перегнал Андрея через 30 мин после своего старта. Решение: Момент, когда один бегун перегнал другого, соответствует точке пересечения их графиков. На рисунке видно, что графики пересекаются в точке $(40, 4)$, то есть на 40-й минуте. Вадим начал бег в $t=10$ мин. Следовательно, с момента его старта до момента обгона прошло $40 - 10 = 30$ минут.
Ответ: Верно.

4) Андрей догнал Вадима в середине дистанции. Решение: Утверждение неверно по двум причинам. Во-первых, Андрей стартовал раньше и лидировал до 40-й минуты, после чего Вадим догнал и обогнал его. То есть, Вадим догонял Андрея, а не наоборот. Во-вторых, середина дистанции — это $6 \text{ км} / 2 = 3$ км. Обгон же произошел на отметке $s=4$ км.
Ответ: Неверно.

5) Первые 2 км Андрей и Вадим бежали с одинаковой скоростью. Решение: Скорость на графике зависимости расстояния от времени — это тангенс угла наклона линии. Рассчитаем скорость каждого на начальном участке. Андрей (участок от 0 до 4 км): скорость $v_А = \frac{4 \text{ км}}{40 \text{ мин}} = 0.1$ км/мин. Вадим (участок от 0 до 4 км): время $40 - 10 = 30$ мин, скорость $v_В = \frac{4 \text{ км}}{30 \text{ мин}} = \frac{2}{15}$ км/мин. Так как $0.1 \neq \frac{2}{15}$ (или $1/10 \neq 2/15$), их скорости были разными.
Ответ: Неверно.

6) Андрей пробежал всю дистанцию на 10 мин быстрее Вадима. Решение: "Пробежал быстрее" означает, что затратил на бег меньше времени. Время бега Андрея: от $t=0$ до $t=50$ мин, то есть $50 - 0 = 50$ минут. Время бега Вадима: от $t=10$ до $t=60$ мин, то есть $60 - 10 = 50$ минут. Они затратили на пробежку одинаковое время.
Ответ: Неверно.

Дополнительные верные утверждения:

• Вадим стартовал на 10 минут позже Андрея.
• Андрей финишировал на 10 минут раньше Вадима (по часам).
• Средняя скорость Андрея и Вадима на всей дистанции была одинаковой и составляла $\frac{6 \text{ км}}{50 \text{ мин}} = 0.12$ км/мин.
• До 40-й минуты Андрей бежал впереди Вадима, а после 40-й минуты и до финиша Вадим был впереди.

732 Два человека крутят скакалку (рис. 5.11, а). Возьмём одну точку — середину скакалки (точку А) — и будем наблюдать, как меняется её высота над землёй в зависимости от времени. На рисунке 5.11, б изображён график, показывающий эту зависимость. Наблюдаемый нами процесс — периодический. Используя график, ответьте на вопросы:

а) За какое время происходит один полный оборот скакалки?

б) На какой высоте находится точка А через 0,5 с после начала вращения? через 1,25 с? через 2 с?

а)

б) $h$, м

$t$, с

Рис. 5.11

в) В какие моменты времени точка А находится на высоте 1 м? Назовите все такие моменты, если скакалку продолжают крутить 10 с.

г) В какие моменты времени точка А находится на высоте 2 м над землёй? Сколько раз она окажется на этой высоте, если скакалку крутят 2 мин?

а) Один полный оборот скакалки соответствует одному полному периоду колебаний, изображенному на графике. Период (обозначим его $T$) — это время, за которое система возвращается в исходное состояние. По графику видно, что точка А находится на максимальной высоте в моменты времени 0,5 с, 1,5 с, 2,5 с и так далее. Разница между последовательными моментами максимальной высоты и есть период вращения: $T = 1,5 \text{ с} - 0,5 \text{ с} = 1 \text{ с}$. Также можно заметить, что точка А начинает движение с высоты 0 м в момент времени $t=0$ с, поднимается на максимальную высоту и снова опускается до 0 м в момент времени $t=1$ с, завершая один полный оборот.
Ответ: Один полный оборот скакалки происходит за 1 секунду.

б) Чтобы найти высоту точки А в определенные моменты времени, необходимо найти эти моменты на горизонтальной оси (ось времени $t$, с) и определить соответствующее им значение на вертикальной оси (ось высоты $h$, м).
- Через 0,5 с после начала вращения: Находим на оси времени точку $t = 0,5$ с. В этот момент график достигает своего максимума. Высота в этой точке составляет 2 м.
- Через 1,25 с после начала вращения: Находим на оси времени точку $t = 1,25$ с. Она находится ровно посередине между отметками 1 с и 1,5 с. Соответствующая этой точке высота на графике равна 1 м.
- Через 2 с после начала вращения: Находим на оси времени точку $t = 2$ с. В этот момент график находится на оси времени, что соответствует высоте 0 м.
Ответ: Через 0,5 с высота составляет 2 м; через 1,25 с — 1 м; через 2 с — 0 м.

в) Нам нужно найти все моменты времени $t$ в интервале от 0 до 10 с, когда высота $h$ равна 1 м. Из графика видно, что в течение первого периода (от 0 до 1 с) высота равна 1 м дважды: при $t=0,25$ с и $t=0,75$ с. Так как процесс является периодическим с периодом $T = 1$ с, то эти события будут повторяться. Моменты, когда высота равна 1 м, можно найти по общей формуле $t_k = 0,25 + 0,5k$, где $k$ — целое неотрицательное число.
Нам нужно найти все значения $t_k$ в интервале $[0, 10]$ с.
$0,25 + 0,5k \le 10$
$0,5k \le 9,75$
$k \le 19,5$
Следовательно, $k$ может принимать целые значения от 0 до 19. Это дает 20 моментов времени.
Ответ: Точка А будет находиться на высоте 1 м в следующие моменты времени (в секундах): 0,25; 0,75; 1,25; 1,75; 2,25; 2,75; 3,25; 3,75; 4,25; 4,75; 5,25; 5,75; 6,25; 6,75; 7,25; 7,75; 8,25; 8,75; 9,25; 9,75.

г) Точка А находится на высоте 2 м в моменты времени, соответствующие вершинам (максимумам) на графике. Первый максимум достигается при $t = 0,5$ с. Поскольку период вращения равен 1 с, следующие максимумы будут достигаться через каждую секунду. Таким образом, моменты времени, когда точка А находится на высоте 2 м, можно описать формулой: $t_k = 0,5 + k$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, \dots$).
Теперь определим, сколько раз точка окажется на этой высоте за 2 минуты.
Сначала переведем 2 минуты в секунды: $2 \text{ мин} = 2 \times 60 \text{ с} = 120 \text{ с}$.
Так как один оборот, во время которого точка А один раз достигает максимальной высоты 2 м, занимает 1 секунду, то за 120 секунд она достигнет этой высоты 120 раз.
Формально, мы ищем количество целых неотрицательных $k$, для которых $t_k \le 120$:
$0,5 + k \le 120$
$k \le 119,5$
Значит, $k$ может принимать значения от 0 до 119, что составляет $119 - 0 + 1 = 120$ значений.
Ответ: Точка А находится на высоте 2 м в моменты времени $t_k = 0,5 + k$ (с), где $k = 0, 1, 2, \dots$. Если скакалку крутят 2 минуты, она окажется на этой высоте 120 раз.