Страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Используйте формулу перевода температуры по шкале Цельсия в температуру по шкале Фаренгейта (пример 1, фрагмент 1) для ответа на вопросы:

a) Какая температура по шкале Фаренгейта соответствует $100^{\circ}$ по шкале Цельсия?

б) Какой температуре по шкале Цельсия соответствует $0^{\circ}$ по шкале Фаренгейта?

Для перевода температуры из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта используется следующая формула:
$T_F = T_C \cdot 1.8 + 32$
или в виде дроби:
$T_F = T_C \cdot \frac{9}{5} + 32$
где $T_F$ — температура в градусах Фаренгейта, а $T_C$ — температура в градусах Цельсия.

а) Какая температура по шкале Фаренгейта соответствует 100° по шкале Цельсия?
Чтобы найти температуру в градусах Фаренгейта, подставим значение $T_C = 100^\circ$ в формулу:
$T_F = 100 \cdot \frac{9}{5} + 32$
Выполним вычисления:
$T_F = \frac{100 \cdot 9}{5} + 32 = 20 \cdot 9 + 32 = 180 + 32 = 212$
Следовательно, 100° по шкале Цельсия равны 212° по шкале Фаренгейта.
Ответ: $212^\circ\text{F}$

б) Какой температуре по шкале Цельсия соответствует 0° по шкале Фаренгейта?
Чтобы найти температуру в градусах Цельсия, сначала нужно выразить $T_C$ из исходной формулы:
$T_F = T_C \cdot \frac{9}{5} + 32$
$T_F - 32 = T_C \cdot \frac{9}{5}$
$T_C = (T_F - 32) \cdot \frac{5}{9}$
Теперь подставим в эту формулу значение $T_F = 0^\circ$:
$T_C = (0 - 32) \cdot \frac{5}{9}$
$T_C = -32 \cdot \frac{5}{9} = -\frac{160}{9}$
Для удобства можно перевести дробь в десятичный формат:
$T_C \approx -17.78$
Таким образом, 0° по шкале Фаренгейта соответствуют примерно $-17.8^\circ$ по шкале Цельсия.
Ответ: $-\frac{160}{9}^\circ\text{C}$ (приблизительно $-17.8^\circ\text{C}$)

Используя график на рисунке 5.15 или соответствующую ему таблицу (при- мер 2, фрагмент 1), определите:

а) Увеличивается или уменьшается с повышением температуры воды количе- ство соли, которое можно растворить в 100 г воды без осадка?

б) Если нагреть 100 г воды до 70 °С, то можно ли растворить в ней без осадка 37 г соли?

в) До какой температуры надо нагреть 100 г воды, чтобы можно было раст- ворить в ней 39 г соли?

Для решения задачи воспользуемся стандартными данными о растворимости поваренной соли (хлорида натрия, $NaCl$) в воде, так как график или таблица из условия отсутствуют. Растворимость показывает максимальное количество вещества (в граммах), которое может раствориться в 100 г растворителя (в данном случае, воды) при определенной температуре.

а) Увеличивается или уменьшается с повышением температуры воды количество соли, которое можно растворить в 100 г воды без осадка?

Для ответа на этот вопрос нужно проанализировать зависимость растворимости соли от температуры. Если посмотреть на график растворимости поваренной соли, то можно увидеть, что кривая идет вверх при движении по оси температур вправо. Это означает, что с ростом температуры растворимость соли увеличивается. Например, при температуре $20^{\circ}C$ в 100 г воды можно растворить около $36.0$ г соли, а при температуре $80^{\circ}C$ — уже $38.4$ г. Таким образом, чем выше температура воды, тем большее количество соли можно в ней растворить до образования насыщенного раствора (без осадка).

Ответ: С повышением температуры воды количество соли, которое можно растворить в 100 г воды без осадка, увеличивается.

б) Если нагреть 100 г воды до 70 °C, то можно ли растворить в ней без осадка 37 г соли?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно найти на графике или в таблице значение растворимости соли при температуре $70^{\circ}C$. Согласно справочным данным, растворимость поваренной соли при $70^{\circ}C$ составляет примерно $37.8$ г на 100 г воды. Это означает, что при данной температуре в 100 г воды можно растворить максимум $37.8$ г соли. В задаче предлагается растворить $37$ г соли. Поскольку количество соли, которое мы хотим растворить, меньше максимально возможного ($37 \text{ г} < 37.8 \text{ г}$), вся соль растворится без остатка, и раствор будет ненасыщенным.

Ответ: Да, можно.

в) До какой температуры надо нагреть 100 г воды, чтобы можно было растворить в ней 39 г соли?

В этом случае нам нужно найти температуру, при которой растворимость соли составляет не менее $39$ г на 100 г воды. Мы ищем на оси растворимости (вертикальной) значение "$39$ г" и смотрим, какая температура на оси температур (горизонтальной) ему соответствует. Согласно справочным данным, растворимость $39$ г на 100 г воды для поваренной соли достигается при температуре примерно $90^{\circ}C$. Это означает, что для растворения $39$ г соли в 100 г воды, воду необходимо нагреть как минимум до $90^{\circ}C$.

Ответ: Воду надо нагреть до температуры не ниже $90^{\circ}C$.

Функция задана формулой $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{5}{x+1}$ (фрагмент 3).

а) Объясните, что означает запись $f(1)$.

б) Запишите с помощью символов значение данной функции при значении аргумента, равном 0. Найдите это значение.

Дана функция $y=f(x)$, где $f(x) = \frac{5}{x+1}$.

а) Объясните, что означает запись $f(1)$.

Запись $f(x)$ обозначает правило, по которому каждому значению аргумента $x$ ставится в соответствие некоторое значение функции $y$. Запись $f(1)$ означает значение функции $f(x)$ при конкретном значении аргумента $x=1$.

Чтобы найти это значение, нужно подставить число 1 вместо $x$ в формулу функции:
$f(1) = \frac{5}{1+1} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Таким образом, $f(1)$ — это числовое значение функции, равное 2,5, когда ее аргумент равен 1.

Ответ: Запись $f(1)$ означает значение функции при аргументе, равном 1.

б) Запишите с помощью символов значение данной функции при значении аргумента, равном 0. Найдите это значение.

Значение функции $f(x)$ при значении аргумента, равном 0, символически записывается как $f(0)$.

Для нахождения этого значения подставим $x=0$ в формулу функции:
$f(0) = \frac{5}{0+1} = \frac{5}{1} = 5$.

Ответ: $f(0) = 5$.

a) Что называют областью определения функции (фрагмент 4)?

б) Что принято считать областью определения функции, если она задана формулой и область определения специальным образом не указана? Найдите область определения функции: $f(x) = x^2 + 3x$; $f(x)=\frac{10}{x-1}$.

в) Укажите область определения функции, заданной формулой $S = a^2$, где $S$ – площадь квадрата, $a$ – длина стороны квадрата.

а) Областью определения функции называют множество всех допустимых значений независимой переменной (аргумента), при которых значение функции может быть вычислено. Иными словами, это все значения $x$, для которых выражение $f(x)$ имеет смысл. Область определения функции $y=f(x)$ принято обозначать как $D(f)$ или $D(y)$.

Ответ: Областью определения функции называют множество всех допустимых значений независимой переменной, при которых функция определена.

б) Если функция задана аналитически (формулой) и её область определения не указана явно, то принято считать, что область определения состоит из всех тех значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Такая область определения называется естественной областью определения функции.

Для функции $f(x) = x^2 + 3x$:
Это выражение является многочленом (в данном случае, квадратичным). Вычисление значения этого выражения требует операций умножения, возведения в степень и сложения. Все эти операции определены для любых действительных чисел. Следовательно, никаких ограничений на значения $x$ нет.

Для функции $f(x) = \frac{10}{x-1}$:
Это выражение является дробью. Основное ограничение для дробей — знаменатель не должен равняться нулю, так как деление на ноль является неопределенной операцией. Найдем значение $x$, при котором знаменатель $x-1$ равен нулю:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$.
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=1$.

Ответ: для функции $f(x) = x^2 + 3x$ область определения — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$; для функции $f(x) = \frac{10}{x-1}$ область определения — все действительные числа, кроме 1, то есть $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

в) Функция задана формулой $S = a^2$, где $a$ — это длина стороны квадрата, а $S$ — его площадь. В этом контексте независимая переменная $a$ представляет собой физическую величину — длину. Длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательной. Значение $a = 0$ соответствует вырожденному случаю, когда квадрат сжимается в точку. Для существования невырожденного квадрата его сторона должна иметь строго положительную длину. Поэтому область определения для переменной $a$ — это множество всех положительных действительных чисел.

Ответ: Область определения функции $S = a^2$ в заданном контексте — это множество всех положительных действительных чисел, то есть $a \in (0; +\infty)$.