Страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

736 Используя графики, изображённые на рисунке 5.13, постройте в одной системе координат графики движения этих же спортсменов, отложив по горизонтальной оси время движения, а по вертикальной — расстояние, которое проплыл спортсмен с начала заплыва.

1) Определите по графику:

а) среднюю скорость движения каждого спортсмена (в метрах в минуту) на первой 100-метровке;

б) среднюю скорость движения каждого спортсмена (в метрах в минуту) на всей дистанции.

2) Объясните, что означают с точки зрения содержания задач точки пересечения графиков на рисунке 5.13 и на вашем рисунке.

Для построения графиков движения спортсменов в координатах "расстояние-время" необходимо рассчитать расстояние, пройденное каждым из них на каждом участке. Расстояние $S$ вычисляется как произведение скорости $v$ на время $t$: $S = v \cdot t$. Исходные данные взяты из графиков скорости от времени (рисунок 5.13).

Для первого спортсмена (сплошная линия на рис. 5.13):

• Участок 1 (0 - 1.5 мин): скорость $v_1 = 70$ м/мин. Расстояние в конце участка: $S_1 = 70 \cdot 1.5 = 105$ м.
• Участок 2 (1.5 - 2.0 мин): скорость $v_2 = 60$ м/мин. Расстояние, пройденное на этом участке: $60 \cdot (2.0 - 1.5) = 30$ м. Общее расстояние: $105 + 30 = 135$ м.
• Участок 3 (2.0 - 4.0 мин): скорость $v_3 = 50$ м/мин. Расстояние, пройденное на этом участке: $50 \cdot (4.0 - 2.0) = 100$ м. Общее расстояние: $135 + 100 = 235$ м.

График движения первого спортсмена — это ломаная линия, соединяющая точки с координатами (время, расстояние): (0, 0), (1.5, 105), (2.0, 135), (4.0, 235).

Для второго спортсмена (пунктирная линия на рис. 5.13):

• Участок 1 (0 - 1.0 мин): скорость $v_1 = 60$ м/мин. Расстояние в конце участка: $S_1 = 60 \cdot 1.0 = 60$ м.
• Участок 2 (1.0 - 3.0 мин): скорость $v_2 = 70$ м/мин. Расстояние, пройденное на этом участке: $70 \cdot (3.0 - 1.0) = 140$ м. Общее расстояние: $60 + 140 = 200$ м.
• Участок 3 (3.0 - 5.0 мин): скорость $v_3 = 40$ м/мин. Расстояние, пройденное на этом участке: $40 \cdot (5.0 - 3.0) = 80$ м. Общее расстояние: $200 + 80 = 280$ м.

График движения второго спортсмена — это ломаная линия, соединяющая точки: (0, 0), (1.0, 60), (3.0, 200), (5.0, 280).

1) а) среднюю скорость движения каждого спортсмена (в метрах в минуту) на первой 100-метровке;

Средняя скорость вычисляется по формуле $v_{ср} = \frac{S}{t}$, где $S=100$ м. Нам нужно найти время $t$, за которое каждый спортсмен проплыл это расстояние.

Первый спортсмен:
На первом участке (до 1.5 мин) его скорость постоянна и равна 70 м/мин. За это время он проплывает 105 м, что больше 100 м. Значит, он проплыл 100 м с этой постоянной скоростью.Время, затраченное на 100 м: $t = \frac{S}{v} = \frac{100 \text{ м}}{70 \text{ м/мин}} = \frac{10}{7}$ мин.Средняя скорость на этой дистанции: $v_{ср1} = \frac{100 \text{ м}}{10/7 \text{ мин}} = 70$ м/мин.

Второй спортсмен:
Сначала он плывет 1 минуту со скоростью 60 м/мин, проплывая 60 м.Ему остается проплыть $100 - 60 = 40$ м.Эти 40 м он плывет со скоростью 70 м/мин. Время на этот отрезок: $t = \frac{40 \text{ м}}{70 \text{ м/мин}} = \frac{4}{7}$ мин.Общее время на 100 м: $t_{общ} = 1 + \frac{4}{7} = \frac{11}{7}$ мин.Средняя скорость на этой дистанции: $v_{ср2} = \frac{100 \text{ м}}{11/7 \text{ мин}} = \frac{700}{11} \approx 63.64$ м/мин.

Ответ: Средняя скорость первого спортсмена на первой 100-метровке — 70 м/мин; второго — $\frac{700}{11}$ м/мин (приблизительно 63.64 м/мин).

1) б) среднюю скорость движения каждого спортсмена (в метрах в минуту) на всей дистанции.

Первый спортсмен:
Общее расстояние: $S_{общ1} = 235$ м.Общее время: $t_{общ1} = 4.0$ мин.Средняя скорость: $v_{ср1} = \frac{235 \text{ м}}{4 \text{ мин}} = 58.75$ м/мин.

Второй спортсмен:
Общее расстояние: $S_{общ2} = 280$ м.Общее время: $t_{общ2} = 5.0$ мин.Средняя скорость: $v_{ср2} = \frac{280 \text{ м}}{5 \text{ мин}} = 56$ м/мин.

Ответ: Средняя скорость первого спортсмена на всей дистанции — 58.75 м/мин; второго — 56 м/мин.

2) Объясните, что означают с точки зрения содержания задач точки пересечения графиков на рисунке 5.13 и на вашем рисунке.

На рисунке 5.13 (график скорости от времени):
На этом графике по оси ординат отложена скорость, а по оси абсцисс — время. Точка пересечения (или участок совпадения) графиков означает, что в данный момент времени (или в данный промежуток времени) скорости спортсменов равны.В данном случае графики не пересекаются, а совпадают на промежутке времени от 1.0 до 1.5 минут. Это означает, что в этот период оба спортсмена плыли с одинаковой скоростью 70 м/мин.

На построенном графике (график расстояния от времени):
На этом графике по оси ординат отложено расстояние, а по оси абсцисс — время. Точка пересечения графиков означает, что в данный момент времени оба спортсмена находятся на одинаковом расстоянии от старта.Чтобы найти эту точку, приравняем функции расстояния для интервала, где возможно пересечение. На интервале времени от 2.0 до 3.0 мин имеем:$S_1(t) = 135 + 50(t - 2) = 50t + 35$$S_2(t) = 60 + 70(t - 1) = 70t - 10$$50t + 35 = 70t - 10 \Rightarrow 20t = 45 \Rightarrow t = 2.25$ мин.Найдем расстояние в этот момент: $S = 50 \cdot 2.25 + 35 = 112.5 + 35 = 147.5$ м.Точка пересечения (2.25; 147.5) означает, что через 2.25 минуты (2 минуты 15 секунд) после старта второй спортсмен догнал первого. В этот момент они оба проплыли 147.5 метров.

Ответ: На графике скорости (рис. 5.13) совпадение графиков на отрезке [1.0; 1.5] мин означает, что в это время спортсмены плыли с одинаковой скоростью. На построенном графике расстояния точка пересечения (2.25 мин, 147.5 м) означает, что в этот момент времени второй спортсмен догнал первого, и оба находились на одинаковом расстоянии от старта.