Страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

733 На рисунке 5.12 изображён график движения велосипедиста из пункта $A$ в пункт $B$ и график движения пешехода из пункта $B$ в пункт $A$ по той же дороге. Ответьте на вопросы:

а) Каково расстояние между пунктами $A$ и $B$?

б) Через сколько времени после начала движения велосипедист и пешеход встретились? Сколько километров к этому времени проехал велосипедист и прошёл пешеход?

в) Кто раньше прибыл в конечный пункт — велосипедист или пешеход? На сколько времени раньше?

г) Во сколько раз скорость велосипедиста больше скорости пешехода?

Рис. 5.12

На графике изображены зависимости пути от времени для велосипедиста (синяя линия) и пешехода (чёрная линия). Ось ординат (вертикальная) показывает расстояние `s` в километрах от пункта А, а ось абсцисс (горизонтальная) — время `t` в часах.

Велосипедист начинает движение из пункта А (в точке с координатами `(t=0, s=0)`) в пункт В.

Пешеход начинает движение из пункта В в пункт А.

а) Каково расстояние между пунктами А и В?

Пункт А соответствует началу отсчёта расстояния, то есть `s=0` км. Пункт В — это конечная точка маршрута велосипедиста и начальная для пешехода. Из графика видно, что пешеход начинает движение из точки с ординатой `s=15` км, а велосипедист заканчивает движение в точке с такой же ординатой. Следовательно, расстояние между пунктами А и В составляет 15 км.

Ответ: 15 км.

б) Через сколько времени после начала движения велосипедист и пешеход встретились? Сколько километров к этому времени проехал велосипедист и прошёл пешеход?

Место встречи на графике соответствует точке пересечения линий движения велосипедиста и пешехода. Найдём координаты этой точки. По оси времени `t` (горизонтальной) она соответствует значению 1 ч. По оси расстояния `s` (вертикальной) — 10 км.

Это означает, что встреча произошла через 1 час после начала движения.

К этому моменту велосипедист, начавший движение из пункта А (`s=0`), проехал 10 км.

Пешеход, начавший движение из пункта B (`s=15`), к моменту встречи оказался в точке `s=10` км. Таким образом, он прошёл расстояние: $15 \text{ км} - 10 \text{ км} = 5 \text{ км}$.

Ответ: Велосипедист и пешеход встретились через 1 час. К этому времени велосипедист проехал 10 км, а пешеход прошёл 5 км.

в) Кто раньше прибыл в конечный пункт — велосипедист или пешеход? На сколько времени раньше?

Конечный пункт для велосипедиста — это пункт В (`s=15` км). Из графика видно, что он достиг этой точки за 1,5 часа.

Конечный пункт для пешехода — это пункт А (`s=0` км). Из графика видно, что он достиг этой точки за 3 часа.

Сравниваем время прибытия: $1,5 \text{ ч} < 3 \text{ ч}$. Следовательно, велосипедист прибыл раньше.

Чтобы найти, на сколько раньше, вычтем из большего времени меньшее: $3 \text{ ч} - 1,5 \text{ ч} = 1,5 \text{ ч}$.

Ответ: Велосипедист прибыл раньше на 1,5 часа.

г) Во сколько раз скорость велосипедиста больше скорости пешехода?

Скорость можно найти по формуле $v = S/t$, где $S$ — пройденное расстояние, а $t$ — время в пути.

Велосипедист проехал всё расстояние $S = 15$ км за время $t_в = 1,5$ ч. Его скорость: $v_{велосипедиста} = \frac{15 \text{ км}}{1,5 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}$.

Пешеход прошёл всё расстояние $S = 15$ км за время $t_п = 3$ ч. Его скорость: $v_{пешехода} = \frac{15 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 5 \text{ км/ч}$.

Чтобы найти, во сколько раз скорость велосипедиста больше, разделим скорость велосипедиста на скорость пешехода: $\frac{v_{велосипедиста}}{v_{пешехода}} = \frac{10 \text{ км/ч}}{5 \text{ км/ч}} = 2$.

Ответ: Скорость велосипедиста в 2 раза больше скорости пешехода.

734 Яхта отошла от причала на берегу озера и в течение часа курсировала по озеру. Через час она вернулась к причалу. Максимальное удаление от причала составило 3 км.

а) Начертите график, показывающий, как в течение этого часа могло меняться расстояние $s$ (км) от яхты до причала, и прокомментируйте этот график.

б) Используя свой график, постройте график движения яхты, отложив по горизонтальной оси время движения, а по вертикальной — пройденный яхтой путь.

а)

Для построения графика зависимости расстояния $s$ (в км) от времени $t$ (в часах) проанализируем условия задачи. По оси абсцисс отложим время $t$ в часах (от 0 до 1), а по оси ординат — расстояние $s$ от причала в километрах (от 0 до 3).

Основные точки и условия для графика:

• В начальный момент времени ($t=0$) яхта отошла от причала, значит, расстояние до него равно нулю. График начинается в точке с координатами (0; 0).
• Через час ($t=1$) яхта вернулась к причалу, значит, расстояние до него снова стало равно нулю. График заканчивается в точке с координатами (1; 0).
• Максимальное удаление от причала составило 3 км. Это означает, что в какой-то момент времени между 0 и 1 часом, расстояние $s$ достигло своего максимального значения, равного 3 км.

Существует множество возможных графиков, удовлетворяющих этим условиям. Мы выберем самый простой случай: яхта движется с постоянной скоростью от причала, достигает максимального удаления, а затем с такой же постоянной скоростью возвращается обратно. Логично предположить, что время на путь туда и обратно было одинаковым.

Комментарий к графику:

В этом случае график будет представлять собой ломаную линию, состоящую из двух отрезков.

1. Удаление от причала: В течение первой половины времени, то есть за 0.5 часа (30 минут), яхта равномерно удаляется от причала. Расстояние до него линейно возрастает от 0 до 3 км. Этот участок графика — отрезок, соединяющий точки (0; 0) и (0.5; 3).
2. Возвращение к причалу: В течение второй половины времени, с 0.5 часа до 1 часа, яхта равномерно возвращается к причалу. Расстояние до него линейно уменьшается от 3 до 0 км. Этот участок графика — отрезок, соединяющий точки (0.5; 3) и (1; 0).

Таким образом, в момент времени $t = 0.5$ часа яхта достигла максимального удаления в 3 км и начала движение обратно.

Ответ: Возможный график зависимости расстояния от времени $s(t)$ — это ломаная линия, проходящая через точки (0; 0), (0.5; 3) и (1; 0). Первый отрезок (от $t=0$ до $t=0.5$) соответствует движению от причала, а второй (от $t=0.5$ до $t=1$) — движению к причалу.

б)

Используя график из пункта (а), построим график зависимости пройденного яхтой пути (обозначим его $P$) от времени $t$. Пройденный путь — это общая дистанция, которую преодолела яхта, и эта величина не может уменьшаться.

По оси абсцисс отложим время $t$ в часах (от 0 до 1), а по оси ординат — пройденный путь $P$ в километрах.

• На первом участке (от $t=0$ до $t=0.5$): Яхта движется в одном направлении, удаляясь от причала. В этом случае пройденный путь равен расстоянию от причала. Таким образом, за первые 0.5 часа яхта прошла 3 км. График на этом участке — это отрезок, соединяющий точки (0; 0) и (0.5; 3).
• На втором участке (от $t=0.5$ до $t=1$): Яхта движется обратно к причалу. Пройденный путь продолжает увеличиваться. К моменту $t=0.5$ было пройдено 3 км. За следующие 0.5 часа яхта проходит еще 3 км, чтобы вернуться к причалу. Общий пройденный путь к моменту $t=1$ составит $3 \text{ км} + 3 \text{ км} = 6 \text{ км}$. График на этом участке — это отрезок, соединяющий точки (0.5; 3) и (1; 6).

Комментарий к графику:

График пройденного пути $P(t)$ представляет собой ломаную линию, состоящую из двух отрезков с положительным наклоном.

1. Первый отрезок соединяет точки (0; 0) и (0.5; 3).
2. Второй отрезок соединяет точки (0.5; 3) и (1; 6).

Весь график является неубывающей функцией, так как пройденный путь со временем только накапливается. Наклон графика на каждом участке соответствует скорости яхты. В нашем примере скорость на обоих участках одинакова и равна $6 \text{ км/ч}$, так как за каждые полчаса яхта проходила 3 км.

Ответ: График зависимости пройденного пути от времени $P(t)$ — это ломаная линия, проходящая через точки (0; 0), (0.5; 3) и (1; 6). Общий путь, пройденный яхтой за час, составляет 6 км.

735 Олег и Пётр соревновались на дистанции 200 м в 50-метровом бассейне. Графики их заплывов показаны на рисунке 5.13. По горизонтальной оси отложено время, а по вертикальной — соответствующее расстояние пловца от старта.

1) Используя графики, ответьте на вопросы:

а) Сколько времени затратил каждый спортсмен на первые 50 м? на всю дистанцию?

$s, м$

Олег

Пётр

$t, с$

Рис. 5.13

б) Кто выиграл соревнование? На сколько секунд он обогнал соперника?

в) На сколько метров отстал проигравший от победителя к моменту его финиша?

2) Прокомментируйте подробно весь ход соревнования.

1) Используя графики, ответьте на вопросы:

а) Сколько времени затратил каждый спортсмен на первые 50 м? на всю дистанцию?

График показывает зависимость расстояния от старта $s$ от времени $t$. Дистанция в 200 м в 50-метровом бассейне означает, что нужно проплыть 4 отрезка по 50 м.

Для Олега (синий график):
- Первые 50 м: График достигает отметки $s=50$ м (первый пик) в момент времени $t = 40$ с. - Вся дистанция 200 м: Олег заканчивает 4-й отрезок (второе возвращение к $s=0$) в момент времени $t = 140$ с.

Для Петра (чёрный график):
- Первые 50 м: График достигает отметки $s=50$ м (первый пик) в момент времени $t = 30$ с. - Вся дистанция 200 м: Пётр заканчивает 4-й отрезок (второе возвращение к $s=0$) в момент времени $t = 150$ с.

Ответ: Олег затратил 40 с на первые 50 м и 140 с на всю дистанцию. Пётр затратил 30 с на первые 50 м и 150 с на всю дистанцию.

б) Кто выиграл соревнование? На сколько секунд он обогнал соперника?

Победителем является тот, кто затратил меньше времени на всю дистанцию.

- Время Олега: $t_{Олег} = 140$ с. - Время Петра: $t_{Пётр} = 150$ с.

Поскольку $140 \text{ с} < 150 \text{ с}$, соревнование выиграл Олег. Он обогнал Петра на разницу во времени:

$\Delta t = t_{Пётр} - t_{Олег} = 150 \text{ с} - 140 \text{ с} = 10 \text{ с}$

Ответ: Соревнование выиграл Олег. Он обогнал Петра на 10 секунд.

в) На сколько метров отстал проигравший от победителя к моменту его финиша?

Победитель, Олег, финишировал в момент времени $t = 140$ с. Нам нужно найти, где в этот момент находился проигравший, Пётр.

В момент $t = 140$ с Пётр плыл свой последний, четвёртый отрезок дистанции (от отметки 150 м до 200 м). Этот отрезок он начал в $t = 100$ с на расстоянии $s=50$ м от старта и должен был закончить в $t=150$ с на расстоянии $s=0$ м от старта.

Скорость Петра на последнем отрезке была постоянной и равнялась:

$v_{Пётр} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{50 \text{ м}}{150 \text{ с} - 100 \text{ с}} = \frac{50 \text{ м}}{50 \text{ с}} = 1$ м/с.

К моменту финиша Олега ($t=140$ с) Пётр плыл на последнем отрезке в течение $140 \text{ с} - 100 \text{ с} = 40$ с. За это время он проплыл:

$d = v_{Пётр} \times 40 \text{ с} = 1 \text{ м/с} \times 40 \text{ с} = 40$ м.

Так как длина отрезка 50 м, ему оставалось проплыть до финиша:

$L_{ост} = 50 \text{ м} - 40 \text{ м} = 10$ м.

Таким образом, в момент финиша Олега Пётр находился в 10 метрах от финишной черты.

Ответ: К моменту финиша победителя проигравший отстал от него на 10 метров.

2) Прокомментируйте подробно весь ход соревнования.

Соревнование можно разбить на четыре этапа, по количеству 50-метровых отрезков.

1-й отрезок (0–50 м): Оба пловца стартуют одновременно. Пётр сразу вырывается вперёд, проплывая первый отрезок за 30 секунд. Олег плывёт медленнее и заканчивает первый отрезок за 40 секунд, отставая от Петра на 10 секунд.

2-й отрезок (50–100 м): Пётр продолжает наращивать преимущество, проплывая второй отрезок также за 30 секунд и завершая первые 100 метров за 60 секунд. Олег на втором отрезке сохраняет свой темп (40 секунд на отрезок) и заканчивает 100 метров за 80 секунд. Отставание Олега от Петра увеличилось до 20 секунд.

3-й отрезок (100–150 м): На этом этапе ситуация меняется. Пётр начинает уставать, и его скорость падает: он проплывает отрезок за 40 секунд (с 60-й по 100-ю секунду). Олег, наоборот, увеличивает темп и проплывает третий отрезок всего за 30 секунд (с 80-й по 110-ю секунду). Хотя Пётр всё ещё впереди, Олег значительно сократил отставание.

4-й, финальный отрезок (150–200 м): Пётр сильно замедляется, проплывая последний отрезок за 50 секунд (с 100-й по 150-ю секунду). Олег же сохраняет высокий темп и проходит этот отрезок за 30 секунд (с 110-й по 140-ю секунду). Благодаря высокой скорости на второй половине дистанции, Олег догоняет и обгоняет Петра. Обгон происходит на 125-й секунде заплыва, в 25 метрах от финиша. В итоге Олег финиширует первым с результатом 140 секунд, а Пётр — вторым с результатом 150 секунд.

Ответ: Пётр лидировал первую половину дистанции за счёт быстрого старта, однако Олег продемонстрировал лучшую выносливость, увеличил скорость во второй половине заплыва, обогнал Петра на последнем отрезке и выиграл соревнование.