Страница 231 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

$V$, л

Рис. 5.7

$V$, л

Рис. 5.8

729 На рисунках 5.7 и 5.8 изображены два графика. Один из них показывает процесс наполнения бака водой, а другой — процесс вытекания воды из бака.

1) Определите, какой процесс описывает каждый из графиков.

2) По каждому графику ответьте на вопросы:

а) Сколько литров воды было в баке первоначально?

б) Сколько литров воды стало в баке через 1 мин? через 3 мин? через 5 мин?

в) Через сколько минут в баке оказалось 20 л воды?

г) На сколько литров меняется количество воды в баке за 1 мин?

3) Какой процесс протекал быстрее — наполнение бака водой или вытекание воды из бака? Вычислите скорость, с которой вода вливалась в бак; вытекала из бака.

1)

На графике 5.7 показано, что с течением времени (ось t) объем воды (ось V) в баке уменьшается. Это означает, что вода из бака вытекает.

На графике 5.8 показано, что с течением времени объем воды в баке увеличивается. Это означает, что бак наполняется водой.

Ответ: График 5.7 описывает процесс вытекания воды из бака. График 5.8 описывает процесс наполнения бака водой.

2)

Для графика 5.7 (вытекание воды):

а) Первоначальное количество воды — это объем в момент времени $t=0$. По графику 5.7 в этот момент времени объем $V$ составлял 50 литров.

Ответ: 50 литров.

б) График представляет собой прямую линию. Найдем её уравнение $V(t) = kt + b$. В начальный момент $t=0$, $V=50$ л, значит $b=50$. В момент $t=10$ мин, $V=0$ л. Подставим в уравнение: $0 = k \cdot 10 + 50$, откуда $10k = -50$ и $k = -5$. Уравнение имеет вид $V(t) = 50 - 5t$.

Через 1 мин ($t=1$): $V(1) = 50 - 5 \cdot 1 = 45$ л.

Через 3 мин ($t=3$): $V(3) = 50 - 5 \cdot 3 = 35$ л.

Через 5 мин ($t=5$): $V(5) = 50 - 5 \cdot 5 = 25$ л.

Ответ: Через 1 мин в баке стало 45 л, через 3 мин — 35 л, через 5 мин — 25 л.

в) Чтобы найти, через сколько минут в баке оказалось 20 л, решим уравнение $20 = 50 - 5t$.

$5t = 50 - 20$

$5t = 30$

$t = 6$ мин.

Ответ: Через 6 минут.

г) Количество воды меняется с постоянной скоростью, равной модулю коэффициента $k$ в уравнении прямой. $k = -5$, значит, каждую минуту объем воды уменьшается на 5 литров.

Ответ: Количество воды уменьшается на 5 литров за 1 минуту.

Для графика 5.8 (наполнение бака):

а) В начальный момент времени $t=0$ по графику 5.8 объем $V$ составлял 10 литров.

Ответ: 10 литров.

б) График представляет собой прямую линию. Найдем её уравнение $V(t) = kt + b$. В начальный момент $t=0$, $V=10$ л, значит $b=10$. В момент $t=4$ мин, $V=20$ л. Подставим в уравнение: $20 = k \cdot 4 + 10$, откуда $4k = 10$ и $k = 2,5$. Уравнение имеет вид $V(t) = 2,5t + 10$.

Через 1 мин ($t=1$): $V(1) = 2,5 \cdot 1 + 10 = 12,5$ л.

Через 3 мин ($t=3$): $V(3) = 2,5 \cdot 3 + 10 = 7,5 + 10 = 17,5$ л.

Через 5 мин ($t=5$): $V(5) = 2,5 \cdot 5 + 10 = 12,5 + 10 = 22,5$ л.

Ответ: Через 1 мин в баке стало 12,5 л, через 3 мин — 17,5 л, через 5 мин — 22,5 л.

в) Чтобы найти, через сколько минут в баке оказалось 20 л, решим уравнение $20 = 2,5t + 10$.

$2,5t = 20 - 10$

$2,5t = 10$

$t = 4$ мин.

Ответ: Через 4 минуты.

г) Количество воды меняется с постоянной скоростью, равной коэффициенту $k$ в уравнении прямой. $k = 2,5$, значит, каждую минуту объем воды увеличивается на 2,5 литра.

Ответ: Количество воды увеличивается на 2,5 литра за 1 минуту.

3)

Чтобы определить, какой процесс протекал быстрее, нужно сравнить скорости изменения объема воды в обоих случаях. Скорость — это величина, показывающая, на сколько литров изменяется объем воды за одну минуту.

Скорость вытекания воды (график 5.7) — это модуль скорости изменения объема. За 10 минут вытекло 50 литров.

$v_{вытекания} = \frac{50 \text{ л}}{10 \text{ мин}} = 5$ л/мин.

Скорость наполнения бака (график 5.8) — это скорость изменения объема. За 10 минут объем увеличился с 10 л до 35 л, то есть на $35 - 10 = 25$ литров.

$v_{наполнения} = \frac{35 \text{ л} - 10 \text{ л}}{10 \text{ мин}} = \frac{25 \text{ л}}{10 \text{ мин}} = 2,5$ л/мин.

Сравниваем скорости: $5$ л/мин > $2,5$ л/мин. Следовательно, процесс вытекания воды протекал быстрее.

Ответ: Быстрее протекал процесс вытекания воды из бака. Скорость, с которой вода вливалась в бак, равна 2,5 л/мин. Скорость, с которой вода вытекала из бака, равна 5 л/мин.

730 1) Турист в течение 30 мин дошёл от лагеря до озера, расположенного в 2 км от лагеря, и, пробыв там 40 мин, вернулся обратно. На всю прогулку он затратил полтора часа. На каком из графиков (рис. 5.9) изображена описанная ситуация, если на вертикальной оси отмечено расстояние туриста от лагеря?

График 1:
Ось Y: $s, \text{км}$ (значения: 0, 2, 4)
Ось X: $t, \text{мин}$ (значения: 0, 10, 30, 50, 70, 90)

График 2:
Ось Y: $s, \text{км}$ (значения: 0, 2, 4)
Ось X: $t, \text{мин}$ (значения: 0, 10, 30, 50, 70, 90)

График 3:
Ось Y: $s, \text{км}$ (значения: 0, 2, 4)
Ось X: $t, \text{мин}$ (значения: 0, 10, 30, 50, 70, 90)

Рис. 5.9

2) Какой из этих графиков будет соответствовать описанной ситуации, если на вертикальной оси отмечается расстояние, пройденное туристом во время своего похода?

1)

В этом задании на вертикальной оси отложено расстояние туриста от лагеря ($s$). Проанализируем движение туриста по этапам, чтобы определить, какой график соответствует описанию.

• Этап 1: Путь от лагеря до озера.

  Турист начинает свой путь из лагеря, поэтому в начальный момент времени ($t=0$) расстояние от лагеря равно $0$ км. Он доходит до озера за $30$ минут. Озеро находится на расстоянии $2$ км от лагеря. Следовательно, за первые $30$ минут расстояние от лагеря должно равномерно увеличиться с $0$ до $2$ км. На графике это изображается в виде прямой линии, идущей вверх от точки $(0, 0)$ до точки $(30, 2)$.

• Этап 2: Отдых на озере.

  Турист пробыл на озере $40$ минут. Это означает, что с момента времени $t=30$ мин до $t = 30 + 40 = 70$ мин он не перемещался относительно лагеря. Его расстояние от лагеря оставалось постоянным и равным $2$ км. На графике это соответствует горизонтальному отрезку прямой на уровне $s=2$ км от $t=30$ мин до $t=70$ мин.

• Этап 3: Возвращение в лагерь.

  Вся прогулка заняла полтора часа, что составляет $1.5 \cdot 60 = 90$ минут. Турист начал возвращаться в $t=70$ мин и закончил в $t=90$ мин. За это время он вернулся в лагерь, то есть его расстояние от лагеря уменьшилось с $2$ км до $0$ км. На графике это изображается в виде прямой линии, идущей вниз от точки $(70, 2)$ до точки $(90, 0)$.

Теперь сравним полученное описание с предложенными графиками:

• График ① не подходит, так как в начальный момент времени расстояние равно $4$ км, а не $0$.

• График ② полностью соответствует нашему анализу: расстояние увеличивается до $2$ км за $30$ мин, затем остается постоянным в течение $40$ мин, а затем уменьшается до $0$ за следующие $20$ мин (с $70$ по $90$ минуту).

• График ③ не подходит, так как на последнем этапе (с $70$ до $90$ мин) расстояние от лагеря увеличивается, что означает, что турист удаляется от лагеря, а не возвращается.

Ответ: График ②.

2)

В этом задании на вертикальной оси отложено общее расстояние, пройденное туристом ($s$). Пройденное расстояние — это длина всего пути, которое преодолел турист. Эта величина никогда не может уменьшаться. Проанализируем движение туриста с этой точки зрения.

• Этап 1: Путь от лагеря до озера.

  За первые $30$ минут турист прошел $2$ км. Таким образом, пройденное расстояние увеличилось с $0$ км до $2$ км. График должен начинаться в точке $(0, 0)$ и дойти до точки $(30, 2)$.

• Этап 2: Отдых на озере.

  В течение следующих $40$ минут (с $t=30$ мин до $t=70$ мин) турист не двигался. Значит, пройденное им расстояние не изменялось. Оно оставалось равным $2$ км. На графике это будет горизонтальный отрезок от $t=30$ до $t=70$ на уровне $s=2$.

• Этап 3: Возвращение в лагерь.

  На обратном пути (с $t=70$ мин до $t=90$ мин) турист прошел еще $2$ км. Общее пройденное расстояние продолжает увеличиваться. В момент $t=70$ мин оно составляло $2$ км, а к моменту $t=90$ мин оно станет $2 \text{ км} + 2 \text{ км} = 4 \text{ км}$. На графике это будет восходящая прямая от точки $(70, 2)$ до точки $(90, 4)$.

Сравним это описание с графиками:

• График ① не подходит, так как начинается не с нуля.

• График ② не подходит, так как на последнем этапе пройденное расстояние уменьшается, что физически невозможно.

• График ③ полностью соответствует нашему анализу: пройденное расстояние растет до $2$ км, затем остается постоянным во время остановки, а затем снова растет до $4$ км во время возвращения.

Ответ: График ③.