Страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

737 а) Автомобиль должен проехать 600 км. Двигаясь со скоростью $v$ км/ч, он затратит на этот путь $t$ ч. Задайте формулой время движения $t$ как функцию скорости $v$. Найдите время движения, если скорость движения равна 40 км/ч; 60 км/ч; 80 км/ч. Найдите скорость движения, если время движения равно 5 ч; 6 ч; 8 ч.

б) Бассейн наполняется водой с помощью насоса, через который вода поступает со скоростью 20 л в минуту. За $t$ мин в бассейн наливается $V$ л воды. Задайте формулой зависимость $V$ от $t$. Найдите значение функции $V$ при значении аргумента $t$, равном 5; 10; 12,5. Найдите значение аргумента $t$, которому соответствует значение функции $V$, равное 60; 150; 340.

а)

Основная формула, связывающая расстояние (s), скорость (v) и время (t), выглядит так: $s = v \cdot t$.
По условию задачи, расстояние $s = 600$ км. Чтобы выразить время движения $t$ как функцию скорости $v$, преобразуем формулу: $t = \frac{s}{v}$.
Подставив известное значение расстояния, получим искомую формулу: $t(v) = \frac{600}{v}$.

Теперь найдем время движения для заданных скоростей:

• Если скорость $v = 40$ км/ч, то время $t = \frac{600}{40} = 15$ ч.
• Если скорость $v = 60$ км/ч, то время $t = \frac{600}{60} = 10$ ч.
• Если скорость $v = 80$ км/ч, то время $t = \frac{600}{80} = \frac{60}{8} = 7.5$ ч.

Далее найдем скорость движения для заданного времени. Для этого выразим скорость $v$ из нашей формулы: $v = \frac{600}{t}$.

• Если время $t = 5$ ч, то скорость $v = \frac{600}{5} = 120$ км/ч.
• Если время $t = 6$ ч, то скорость $v = \frac{600}{6} = 100$ км/ч.
• Если время $t = 8$ ч, то скорость $v = \frac{600}{8} = 75$ км/ч.

Ответ: Формула зависимости времени от скорости: $t(v) = \frac{600}{v}$. При скорости 40 км/ч, 60 км/ч, 80 км/ч время движения составит 15 ч, 10 ч, 7.5 ч соответственно. При времени движения 5 ч, 6 ч, 8 ч скорость должна быть 120 км/ч, 100 км/ч, 75 км/ч соответственно.

б)

Объем воды $V$ (в литрах), налитой в бассейн, зависит от времени работы насоса $t$ (в минутах) и скорости подачи воды. Скорость подачи воды составляет 20 л в минуту. Зависимость объема $V$ от времени $t$ является прямой пропорциональностью и задается формулой: $V(t) = 20 \cdot t$.

Найдем значение функции $V$ (объем) при заданных значениях аргумента $t$ (время):

• При $t = 5$ мин, объем $V = 20 \cdot 5 = 100$ л.
• При $t = 10$ мин, объем $V = 20 \cdot 10 = 200$ л.
• При $t = 12.5$ мин, объем $V = 20 \cdot 12.5 = 250$ л.

Теперь найдем значение аргумента $t$ (время), которому соответствуют заданные значения функции $V$ (объем). Для этого выразим время из формулы: $t = \frac{V}{20}$.

• Если объем $V = 60$ л, то время $t = \frac{60}{20} = 3$ мин.
• Если объем $V = 150$ л, то время $t = \frac{150}{20} = 7.5$ мин.
• Если объем $V = 340$ л, то время $t = \frac{340}{20} = 17$ мин.

Ответ: Формула зависимости объема от времени: $V(t) = 20t$. При времени 5 мин, 10 мин, 12.5 мин объем воды составит 100 л, 200 л, 250 л соответственно. Для того чтобы налить в бассейн 60 л, 150 л, 340 л воды, потребуется 3 мин, 7.5 мин, 17 мин соответственно.

738 a) Имелось 100 кг муки. Ежедневно расходовали 3 кг муки. Через $x$ дней осталось $y$ кг муки. Задайте формулой зависимость $y$ от $x$. Найдите значение функции $y$ при значении аргумента $x$, равном 3; 10; 33. Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно 40; 55; 85. Укажите область определения функции.

б) Нужно купить карандаши по 4 р. за штуку. Всего имеется 50 р. После покупки $n$ карандашей останется $c$ р. Задайте формулой зависимость $c$ от $n$. Составьте таблицу значений аргумента $n$ и функции $c$. Постройте соответствующие точки в координатной плоскости. Сколько точек получилось? Какова область определения функции?

Изначально было 100 кг муки. Ежедневно расходовали по 3 кг. За $x$ дней будет израсходовано $3 \cdot x$ кг муки. Количество муки $y$, которое останется через $x$ дней, равно разности начального количества и израсходованного. Таким образом, зависимость $y$ от $x$ задается формулой:
Ответ: $y = 100 - 3x$.

Найдем значения функции $y$ при значениях аргумента $x$, равных 3, 10 и 33.
Если $x = 3$, то $y = 100 - 3 \cdot 3 = 100 - 9 = 91$ кг.
Если $x = 10$, то $y = 100 - 3 \cdot 10 = 100 - 30 = 70$ кг.
Если $x = 33$, то $y = 100 - 3 \cdot 33 = 100 - 99 = 1$ кг.
Ответ: При $x = 3$ значение функции $y = 91$; при $x = 10$ значение функции $y = 70$; при $x = 33$ значение функции $y = 1$.

Найдем значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно 40, 55 и 85.
Если $y = 40$, то $40 = 100 - 3x \implies 3x = 100 - 40 \implies 3x = 60 \implies x = 20$ дней.
Если $y = 55$, то $55 = 100 - 3x \implies 3x = 100 - 55 \implies 3x = 45 \implies x = 15$ дней.
Если $y = 85$, то $85 = 100 - 3x \implies 3x = 100 - 85 \implies 3x = 15 \implies x = 5$ дней.
Ответ: Значение функции равно 40 при $x = 20$; 55 при $x = 15$; 85 при $x = 5$.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Аргумент $x$ (количество дней) не может быть отрицательным, то есть $x \ge 0$. Количество оставшейся муки $y$ также не может быть отрицательным: $y \ge 0$.
$100 - 3x \ge 0 \implies 100 \ge 3x \implies x \le \frac{100}{3} \implies x \le 33\frac{1}{3}$.
Поскольку $x$ — это количество полных дней, оно может быть только целым числом. Следовательно, $x$ может принимать целые значения от 0 до 33.
Ответ: Область определения функции — множество целых чисел $\{0, 1, 2, \dots, 33\}$.

Изначально было 50 р. Цена одного карандаша — 4 р. Стоимость $n$ карандашей составляет $4n$ р. Сдача $c$, которая останется после покупки $n$ карандашей, равна разности начальной суммы и стоимости покупки.
Ответ: $c = 50 - 4n$.

Составим таблицу значений, построим точки и определим их количество.
Аргумент $n$ (количество карандашей) — целое неотрицательное число. Стоимость покупки не может превышать имеющуюся сумму: $4n \le 50$, откуда $n \le 12.5$. Максимальное целое число карандашей, которое можно купить, — 12. Таким образом, $n$ может принимать целые значения от 0 до 12.

В координатной плоскости (ось абсцисс — $n$, ось ординат — $c$) нужно отметить точки с координатами, взятыми из таблицы: $(0, 50), (1, 46), (2, 42), \dots, (12, 2)$. Это будет набор из 13 отдельных точек, лежащих на одной прямой.
Количество точек равно количеству возможных значений $n$ от 0 до 12, то есть $12 - 0 + 1 = 13$ точек.
Ответ: Таблица приведена выше; в координатной плоскости получится 13 точек.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $n$. Как было установлено ранее, $n$ может быть любым целым числом от 0 до 12 включительно.
Ответ: Область определения функции — множество целых чисел $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.

739 а) Число диагоналей $p$ выпуклого многоугольника является функцией числа его вершин $n$. Задайте эту функцию формулой. Какова её область определения? Заполните таблицу, в которой даны некоторые значения аргумента $n$ и функции $p$:

Проинтерпретируйте полученные результаты на геометрическом языке.

б) Среди учащихся восьмых классов школы провели шахматную олимпиаду, в которой каждый участник сыграл с каждым другим участником по одной партии. Число сыгранных партий $r$ является функцией числа участников олимпиады $m$. Задайте эту функцию формулой. Какова область определения этой функции? Заполните таблицу:

Как можно прокомментировать данные таблицы?

а) Число диагоналей $p$ выпуклого многоугольника с $n$ вершинами можно найти, рассмотрев общее число отрезков, которые можно провести между $n$ вершинами, и вычтя из него число сторон многоугольника.
Общее число пар вершин, которые можно выбрать из $n$ штук, равно числу сочетаний из $n$ по 2: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.
Эти отрезки включают в себя $n$ сторон многоугольника и все его диагонали. Следовательно, чтобы найти число диагоналей $p$, нужно из общего числа отрезков вычесть число сторон $n$:
$p(n) = C_n^2 - n = \frac{n(n-1)}{2} - n = \frac{n^2 - n - 2n}{2} = \frac{n^2 - 3n}{2} = \frac{n(n-3)}{2}$.
Таким образом, функция задается формулой: $p(n) = \frac{n(n-3)}{2}$.
Область определения функции: поскольку $n$ — это число вершин многоугольника, оно должно быть целым числом, большим или равным 3 (минимальный многоугольник — треугольник). То есть, $n \in \mathbb{N}, n \ge 3$.
Заполним таблицу, используя полученную формулу:
1. Если $n=5$, то $p = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$.
2. Если $p=14$, то $\frac{n(n-3)}{2} = 14 \implies n(n-3) = 28 \implies n^2 - 3n - 28 = 0$. Решая квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни $n_1=7$ и $n_2=-4$. Так как $n$ должно быть положительным, подходит $n=7$.
3. Если $n=10$, то $p = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$.
4. Если $p=54$, то $\frac{n(n-3)}{2} = 54 \implies n(n-3) = 108 \implies n^2 - 3n - 108 = 0$. Решая уравнение, находим корни $n_1=12$ и $n_2=-9$. Подходит $n=12$.
Заполненная таблица:

Проинтерпретируйте полученные результаты на геометрическом языке:
Формула $p(n) = \frac{n(n-3)}{2}$ и заполненная таблица показывают, как количество диагоналей в выпуклом многоугольнике зависит от количества его вершин. Например, у пятиугольника ($n=5$) есть 5 диагоналей, у семиугольника ($n=7$) — 14 диагоналей, у десятиугольника ($n=10$) — 35 диагоналей, а у двенадцатиугольника ($n=12$) — 54 диагонали. С увеличением числа вершин число диагоналей растет нелинейно (квадратично).
Ответ: Функция: $p(n) = \frac{n(n-3)}{2}$. Область определения: $n$ — натуральное число, $n \ge 3$. Заполненная таблица приведена выше.

б) Число партий $r$ в шахматной олимпиаде, где каждый из $m$ участников играет с каждым другим по одной партии, равно числу способов выбрать пару участников из $m$ человек. Это задача на нахождение числа сочетаний из $m$ по 2.
Формула для числа сочетаний: $C_m^2 = \frac{m(m-1)}{2}$.
Следовательно, функция, связывающая число партий $r$ и число участников $m$, имеет вид: $r(m) = \frac{m(m-1)}{2}$.
Область определения функции: поскольку $m$ — это число участников, и для игры нужна хотя бы одна пара, $m$ должно быть целым числом, большим или равным 2. То есть, $m \in \mathbb{N}, m \ge 2$.
Заполним таблицу, используя полученную формулу:
1. Если $m=5$, то $r = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.
2. Если $m=6$, то $r = \frac{6(6-1)}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$.
3. Если $r=28$, то $\frac{m(m-1)}{2} = 28 \implies m(m-1) = 56 \implies m^2 - m - 56 = 0$. Решая уравнение, находим корни $m_1=8$ и $m_2=-7$. Так как число участников не может быть отрицательным, $m=8$.
4. Если $r=55$, то $\frac{m(m-1)}{2} = 55 \implies m(m-1) = 110 \implies m^2 - m - 110 = 0$. Решая уравнение, находим корни $m_1=11$ и $m_2=-10$. Подходит $m=11$.
Заполненная таблица:

Ответ: Функция: $r(m) = \frac{m(m-1)}{2}$. Область определения: $m$ — натуральное число, $m \ge 2$. Заполненная таблица приведена выше.

Как можно прокомментировать данные таблицы?
Обе задачи, несмотря на разный контекст (геометрия и турнир), описываются очень похожими математическими моделями. В обоих случаях мы ищем количество пар, которые можно составить из некоторого числа объектов ($n$ вершин или $m$ участников). Это приводит к квадратичным функциям, основанным на формуле сочетаний $C_k^2 = \frac{k(k-1)}{2}$.
Функция для числа шахматных партий $r(m) = \frac{m(m-1)}{2}$ является прямым применением этой формулы.
Функция для числа диагоналей $p(n) = \frac{n(n-3)}{2}$ также основана на этой идее, но с поправкой: из общего числа пар вершин $C_n^2$ вычитаются те $n$ пар, которые образуют стороны многоугольника, а не диагонали. То есть, $p(n) = C_n^2 - n$.
Таким образом, обе таблицы демонстрируют применение одной и той же комбинаторной идеи к различным практическим ситуациям.