Страница 246 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

758 На рисунке 5.22 изображён график функции $y = f(x)$. Найдите по этому графику:

а) $f(0)$; $f(-3)$; $f(1)$;

б) значения $x$, при которых $f(x) = 2$; $f(x) = 0$; $f(x) = -3$.

Рис. 5.22

759 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Маша посадила подсолнух и в течение 12 недель вела наблюдение за его ростом, измеряя

а) Чтобы найти значение функции $f(x)$ при заданном значении аргумента $x$, необходимо найти на оси абсцисс (горизонтальной оси $x$) указанное значение, затем найти соответствующую ему точку на графике и определить её ординату (координату по вертикальной оси $y$).

• Для нахождения $f(0)$, находим точку $x=0$ на оси абсцисс. Это точка пересечения осей координат. Поднимаемся по оси ординат до пересечения с графиком. Точка на графике имеет координаты $(0, 2)$. Таким образом, $f(0) = 2$.

• Для нахождения $f(-3)$, находим точку $x=-3$ на оси абсцисс. Опускаемся вертикально вниз до пересечения с графиком. Точка на графике имеет координаты $(-3, -3)$. Таким образом, $f(-3) = -3$.

• Для нахождения $f(1)$, находим точку $x=1$ на оси абсцисс. Поднимаемся вертикально вверх до пересечения с графиком. Точка на графике имеет координаты $(1, 2)$. Таким образом, $f(1) = 2$.

Ответ: $f(0) = 2$; $f(-3) = -3$; $f(1) = 2$.

б) Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция $f(x)$ принимает заданное значение, необходимо найти это значение на оси ординат (вертикальной оси $y$), провести через него горизонтальную прямую и найти абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком функции.

• Найдем значения $x$, при которых $f(x) = 2$. Проводим горизонтальную прямую $y=2$. Эта прямая пересекает график в двух точках. Абсциссы этих точек (их координаты по оси $x$) равны $0$ и $1$.

• Найдем значения $x$, при которых $f(x) = 0$. Прямая $y=0$ совпадает с осью абсцисс ($x$). График пересекает ось $x$ в двух точках. По графику видно, что абсциссы этих точек примерно равны $-1,5$ и $2,5$.

• Найдем значения $x$, при которых $f(x) = -3$. Проводим горизонтальную прямую $y=-3$. Эта прямая пересекает график в одной точке, абсцисса которой равна $-3$.

Ответ: при $f(x) = 2$ значения $x$ равны $0$ и $1$; при $f(x) = 0$ значения $x$ примерно равны $-1,5$ и $2,5$; при $f(x) = -3$ значение $x$ равно $-3$.

759 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Маша посадила подсолнух и в течение 12 недель вела наблюдение за его ростом, измеряя длину стебля в конце каждой недели. Результаты её наблюдений представлены в следующей таблице:

Рис. 5.22

Постройте график функции $h = f(t)$, где $t$ — время (нед.), $h$ — длина стебля (см). Используя график, ответьте на вопросы:

а) Какой примерно была длина стебля через 3,5 недели? через 6,5 недели?

б) Примерно на какой день длина стебля достигла 50 см; 210 см?

в) В какую неделю подсолнух рос быстрее всего, а в какую — медленнее всего?

г) Когда рост растения был интенсивнее — в первые четыре недели или в следующие четыре недели?

д) Когда подсолнух перерос Машу, если её рост 152 см?

Для решения задачи построим график функции $h = f(t)$, откладывая по оси абсцисс время $t$ в неделях, а по оси ординат — длину стебля $h$ в сантиметрах. Для этого отметим на координатной плоскости точки с координатами из таблицы: $(1, 20)$, $(2, 37)$, $(3, 73)$, $(4, 100)$, $(5, 140)$, $(6, 175)$, $(7, 200)$, $(8, 225)$, $(9, 240)$, $(10, 250)$, $(11, 255)$ и $(12, 260)$. Соединим полученные точки плавной линией. Используя данные таблицы и построенный график, ответим на вопросы.

а) Какой примерно была длина стебля через 3,5 недели? через 6,5 недели?

Чтобы найти длину стебля в определённый момент времени, нужно найти значение $h$ для заданного $t$ на графике. Это можно сделать, проведя интерполяцию между известными точками.

Через 3,5 недели: Это время находится между концом 3-й недели ($h = 73$ см) и концом 4-й недели ($h = 100$ см). Приблизительное значение можно найти как среднее арифметическое: $h(3,5) \approx \frac{h(3) + h(4)}{2} = \frac{73 + 100}{2} = \frac{173}{2} = 86,5$ см.

Через 6,5 недели: Это время находится между концом 6-й недели ($h = 175$ см) и концом 7-й недели ($h = 200$ см). $h(6,5) \approx \frac{h(6) + h(7)}{2} = \frac{175 + 200}{2} = \frac{375}{2} = 187,5$ см.

Ответ: Через 3,5 недели длина стебля была примерно 87 см, а через 6,5 недели — примерно 188 см.

б) Примерно на какой день длина стебля достигла 50 см; 210 см?

Чтобы найти, когда длина стебля достигла определённого значения, нужно найти значение $t$ для заданного $h$.

Длина 50 см: Это значение находится между $h(2) = 37$ см и $h(3) = 73$ см. Значит, это произошло в течение третьей недели. Третья неделя — это дни с 15-го по 21-й. Поскольку 50 ближе к 37, чем к 73, это произошло в начале недели. Более точно: прирост за неделю составил $73 - 37 = 36$ см. Чтобы вырасти с 37 до 50 см, нужно $50 - 37 = 13$ см. Это займет $\frac{13}{36}$ недели, что составляет $\frac{13}{36} \times 7 \approx 2,5$ дня. Таким образом, это произошло на 14 + 2,5 = 16,5, то есть примерно на 17-й день.

Длина 210 см: Это значение находится между $h(7) = 200$ см и $h(8) = 225$ см. Это произошло в течение восьмой недели (дни с 50-го по 56-й). Прирост за неделю составил $225 - 200 = 25$ см. Чтобы вырасти с 200 до 210 см, нужно $210 - 200 = 10$ см. Это займет $\frac{10}{25} = 0,4$ недели, что составляет $0,4 \times 7 = 2,8$ дня. Таким образом, это произошло на 49 + 2,8 = 51,8, то есть примерно на 52-й день.

Ответ: Длина стебля достигла 50 см примерно на 17-й день, а 210 см — примерно на 52-й день.

в) В какую неделю подсолнух рос быстрее всего, а в какую — медленнее всего?

Скорость роста — это изменение длины стебля за неделю. Вычислим прирост для каждой недели:

За 2-ю неделю: $37 - 20 = 17$ см.

За 3-ю неделю: $73 - 37 = 36$ см.

За 4-ю неделю: $100 - 73 = 27$ см.

За 5-ю неделю: $140 - 100 = 40$ см (максимальный прирост).

За 6-ю неделю: $175 - 140 = 35$ см.

За 7-ю неделю: $200 - 175 = 25$ см.

За 8-ю неделю: $225 - 200 = 25$ см.

За 9-ю неделю: $240 - 225 = 15$ см.

За 10-ю неделю: $250 - 240 = 10$ см.

За 11-ю неделю: $255 - 250 = 5$ см (минимальный прирост).

За 12-ю неделю: $260 - 255 = 5$ см (минимальный прирост).

Ответ: Быстрее всего подсолнух рос в течение 5-й недели, а медленнее всего — в течение 11-й и 12-й недель.

г) Когда рост растения был интенсивнее — в первые четыре недели или в следующие четыре недели?

Рост за первые четыре недели (с начала наблюдений до конца 4-й недели) составил $h(4) = 100$ см (предполагая, что $h(0) = 0$).

Рост за следующие четыре недели (с конца 4-й недели до конца 8-й недели) составил $h(8) - h(4) = 225 - 100 = 125$ см.

Сравнивая прирост, $125 \text{ см} > 100 \text{ см}$, делаем вывод, что рост был интенсивнее в следующие четыре недели.

Ответ: Рост растения был интенсивнее в следующие четыре недели (с 5-й по 8-ю).

д) Когда подсолнух перерос Машу, если её рост 152 см?

Нам нужно найти момент времени $t$, когда длина стебля $h$ стала больше 152 см. Посмотрим на данные в таблице:

В конце 5-й недели рост подсолнуха был $h(5) = 140$ см, что меньше роста Маши.

В конце 6-й недели рост подсолнуха был $h(6) = 175$ см, что больше роста Маши.

Следовательно, подсолнух перерос Машу в промежутке между концом 5-й и концом 6-й недели, то есть в течение 6-й недели.

Ответ: Подсолнух перерос Машу в течение шестой недели.

760 МОДЕЛИРУЕМ

1) Велосипедист въехал на небольшую гору. За первую минуту он преодолел при подъёме 250 м, за вторую минуту - 200 м, за третью минуту - 150 м, за четвёртую минуту - 130 м, за пятую минуту - 100 м, за шестую минуту - 80 м. Расстояние $s$ (в метрах), на котором находился велосипедист от основания горы, является функцией времени движения $t$ (в минутах). Постройте график этой функции.

2) Используя график, ответьте на вопросы:

а) На каком примерно расстоянии от подножия горы находился велосипедист через 2,5 мин? через 4,5 мин? через 6 мин?

б) За какое примерно время он преодолел расстояние, равное 350 м? равное 800 м?

1)

Для построения графика функции зависимости расстояния $s$ (в метрах) от времени движения $t$ (в минутах), сначала определим координаты точек графика. Нам нужно найти общее расстояние, пройденное велосипедистом, в конце каждой минуты. Пусть $s(t)$ — это расстояние от основания горы в момент времени $t$.

В начальный момент времени $t=0$, велосипедист находится у основания горы, поэтому $s(0) = 0$.
Через 1 минуту: $s(1) = 250$ м.
Через 2 минуты: $s(2) = s(1) + 200 = 250 + 200 = 450$ м.
Через 3 минуты: $s(3) = s(2) + 150 = 450 + 150 = 600$ м.
Через 4 минуты: $s(4) = s(3) + 130 = 600 + 130 = 730$ м.
Через 5 минут: $s(5) = s(4) + 100 = 730 + 100 = 830$ м.
Через 6 минут: $s(6) = s(5) + 80 = 830 + 80 = 910$ м.

Таким образом, мы получили следующие точки для построения графика: $(0, 0)$, $(1, 250)$, $(2, 450)$, $(3, 600)$, $(4, 730)$, $(5, 830)$, $(6, 910)$.
График функции $s(t)$ строится в системе координат, где по горизонтальной оси откладывается время $t$ в минутах, а по вертикальной оси — расстояние $s$ в метрах. График представляет собой ломаную линию, которая последовательно соединяет эти точки.

2)

а) На каком примерно расстоянии от подножия горы находился велосипедист через 2,5 мин? через 4,5 мин? через 6 мин?

Для ответа на эти вопросы используем построенный график. Предполагая, что скорость движения в течение каждой минуты была постоянной, мы можем использовать линейную интерполяцию между узловыми точками.

- Через 2,5 мин: Этот момент времени находится на полпути между $t=2$ мин и $t=3$ мин. Расстояние в этот момент будет средним арифметическим расстояний $s(2)$ и $s(3)$.
$s(2,5) = s(2) + (s(3) - s(2)) \cdot (2,5 - 2) = 450 + (600 - 450) \cdot 0,5 = 450 + 150 \cdot 0,5 = 450 + 75 = 525$ м.

- Через 4,5 мин: Этот момент времени находится на полпути между $t=4$ мин и $t=5$ мин. Расстояние будет средним арифметическим расстояний $s(4)$ и $s(5)$.
$s(4,5) = s(4) + (s(5) - s(4)) \cdot (4,5 - 4) = 730 + (830 - 730) \cdot 0,5 = 730 + 100 \cdot 0,5 = 730 + 50 = 780$ м.

- Через 6 мин: Это одна из вычисленных нами точек.
$s(6) = 910$ м.

Ответ: через 2,5 мин велосипедист находился на расстоянии примерно 525 м; через 4,5 мин — 780 м; через 6 мин — 910 м.

б) За какое примерно время он преодолел расстояние, равное 350 м? равное 800 м?

Для ответа на эти вопросы также воспользуемся графиком.

- Расстояние 350 м: Это расстояние было преодолено между $t=1$ мин ($s=250$ м) и $t=2$ мин ($s=450$ м). За вторую минуту велосипедист проехал $450 - 250 = 200$ м. Чтобы преодолеть расстояние $350 - 250 = 100$ м после первой минуты, ему потребовалось:
$ \Delta t = \frac{100 \text{ м}}{200 \text{ м/мин}} = 0,5 $ мин.
Общее время: $t = 1 + 0,5 = 1,5$ мин.

- Расстояние 800 м: Это расстояние было преодолено между $t=4$ мин ($s=730$ м) и $t=5$ мин ($s=830$ м). За пятую минуту велосипедист проехал $830 - 730 = 100$ м. Чтобы преодолеть расстояние $800 - 730 = 70$ м после четвертой минуты, ему потребовалось:
$ \Delta t = \frac{70 \text{ м}}{100 \text{ м/мин}} = 0,7 $ мин.
Общее время: $t = 4 + 0,7 = 4,7$ мин.

Ответ: расстояние 350 м велосипедист преодолел примерно за 1,5 мин; расстояние 800 м — примерно за 4,7 мин.

761 a) На рисунке 5.23 изображён график некоторой функции. Составьте по графику таблицу значений функции на промежутке $[-1; 2]$ с шагом $0,5$. Воспроизведите этот график в тетради.

Рис. 5.23

Рис. 5.24

б) Функция задана графиком (рис. 5.24). Составьте таблицу значений функции на промежутке $[-1; 5]$ с шагом $0,5$. Воспроизведите этот график в тетради.

a)

Чтобы составить таблицу значений функции, изображенной на рисунке 5.23, мы определим значения ординаты (y) для каждого требуемого значения абсциссы (x) на промежутке $[-1; 2]$ с шагом 0,5, считывая их непосредственно с графика. Единичный отрезок на обеих осях равен одной клетке.

• При $x = -1$, график проходит через точку с ординатой $y = -4$.
• При $x = -0,5$, значение $y$ приблизительно равно -1,4.
• При $x = 0$, график проходит через начало координат, $y = 0$.
• При $x = 0,5$, значение $y$ приблизительно равно -0,6.
• При $x = 1$, график достигает локального минимума в точке $y = -1$.
• При $x = 1,5$, график пересекает ось абсцисс, $y = 0$.
• При $x = 2$, значение $y = 4$.

Для того чтобы воспроизвести этот график в тетради, нужно отметить точки из составленной таблицы на координатной плоскости и соединить их плавной кривой.

Ответ:

б)

Проанализируем график функции на рисунке 5.24. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Масштаб по оси $x$ — одна клетка равна 1, по оси $y$ — одна клетка равна 2. Вершина параболы находится в точке $(2; -4)$. Уравнение такой параболы имеет вид $y = a(x-h)^2 + k$. Подставив координаты вершины, получим $y = a(x-2)^2 - 4$. Для нахождения коэффициента $a$ воспользуемся еще одной точкой, через которую проходит график, например, $(0; 0)$.

$0 = a(0-2)^2 - 4$

$0 = 4a - 4$

$4a = 4$

$a = 1$

Таким образом, функция задана формулой $y = (x-2)^2 - 4$. Теперь мы можем точно вычислить значения функции на промежутке $[-1; 5]$ с шагом 0,5.

Для воспроизведения графика в тетради следует нанести вычисленные точки на координатную плоскость и соединить их плавной линией, чтобы получить параболу.

Ответ: