Страница 253 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

782 МОДЕЛИРУЕМ Начертите график какой-нибудь функции, нулями которой являются числа:

а) -3,5; 0; 4;

б) -5; -1; 2,5; 4,5.

Для каждой функции укажите промежутки, на которых её значения положительны; отрицательны.

Для решения этой задачи нам нужно построить функцию, которая обращается в ноль в заданных точках. Эти точки называются нулями функции и являются точками пересечения графика функции с осью абсцисс (осью Ox). Самый простой способ создать такую функцию — это использовать многочлен, корни которого и есть заданные нули.

Если числа $x_1, x_2, \dots, x_n$ являются нулями функции, то ее можно представить в виде $y = a(x - x_1)(x - x_2)\dots(x - n)$, где $a$ — любое ненулевое число. Для простоты мы будем использовать $a=1$.

а) Нулями функции являются числа: -3,5; 0; 4.

1. Построение функции.
Составим функцию, используя данные нули. Пусть это будет многочлен: $y = (x - (-3,5))(x - 0)(x - 4)$
Упростим выражение: $y = x(x + 3,5)(x - 4)$

2. Эскиз графика.
Это кубическая функция (многочлен третьей степени). Ее график — это непрерывная кривая, которая пересекает ось Ox в точках $x = -3,5$, $x = 0$ и $x = 4$. Поскольку старший коэффициент при $x^3$ положителен, при $x \to +\infty$ функция уходит на $+\infty$, а при $x \to -\infty$ — на $-\infty$. График можно представить так: кривая идет из левого нижнего квадранта, пересекает ось Ox в точке -3,5, поднимается, достигает локального максимума, затем опускается, пересекает ось Ox в точке 0, уходит в отрицательную область, достигает локального минимума, снова поднимается, пересекает ось Ox в точке 4 и уходит в правый верхний квадрант.

3. Определение промежутков знакопостоянства.
Нули функции делят числовую прямую на четыре промежутка: $(-\infty; -3,5)$, $(-3,5; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них методом интервалов.

• Промежуток $(4; +\infty)$: возьмем $x=5$. $y = 5(5 + 3,5)(5 - 4) = 5 \cdot 8,5 \cdot 1 > 0$. Функция положительна.
• Промежуток $(0; 4)$: возьмем $x=1$. $y = 1(1 + 3,5)(1 - 4) = 1 \cdot 4,5 \cdot (-3) < 0$. Функция отрицательна.
• Промежуток $(-3,5; 0)$: возьмем $x=-1$. $y = -1(-1 + 3,5)(-1 - 4) = (-1) \cdot 2,5 \cdot (-5) > 0$. Функция положительна.
• Промежуток $(-\infty; -3,5)$: возьмем $x=-4$. $y = -4(-4 + 3,5)(-4 - 4) = (-4) \cdot (-0,5) \cdot (-8) < 0$. Функция отрицательна.

Таким образом, значения функции положительны ($y>0$) на промежутках $(-3,5; 0)$ и $(4; +\infty)$.
Значения функции отрицательны ($y<0$) на промежутках $(-\infty; -3,5)$ и $(0; 4)$.
Ответ: Для функции, нулями которой являются числа -3,5; 0; 4 (например, $y=x(x+3,5)(x-4)$), значения положительны при $x \in (-3,5; 0) \cup (4; +\infty)$ и отрицательны при $x \in (-\infty; -3,5) \cup (0; 4)$.

б) Нулями функции являются числа: -5; -1; 2,5; 4,5.

1. Построение функции.
Составим функцию, используя данные нули: $y = (x - (-5))(x - (-1))(x - 2,5)(x - 4,5)$
Упростим выражение: $y = (x + 5)(x + 1)(x - 2,5)(x - 4,5)$

2. Эскиз графика.
Это многочлен четвертой степени. Его график — это непрерывная кривая, пересекающая ось Ox в точках $x = -5$, $x = -1$, $x = 2,5$ и $x = 4,5$. Так как старший коэффициент при $x^4$ положителен, обе ветви графика уходят на $+\infty$. График по форме напоминает букву W. Кривая идет из левого верхнего квадранта, пересекает ось Ox в точке -5, опускается до локального минимума, поднимается и пересекает ось Ox в точке -1, достигает локального максимума, снова опускается и пересекает ось Ox в точке 2,5, достигает второго локального минимума, поднимается, пересекает ось Ox в точке 4,5 и уходит в правый верхний квадрант.

3. Определение промежутков знакопостоянства.
Нули функции делят числовую прямую на пять промежутков: $(-\infty; -5)$, $(-5; -1)$, $(-1; 2,5)$, $(2,5; 4,5)$ и $(4,5; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них.

• Промежуток $(4,5; +\infty)$: возьмем $x=5$. $y = (5+5)(5+1)(5-2,5)(5-4,5) > 0$. Функция положительна.
• Промежуток $(2,5; 4,5)$: возьмем $x=3$. $y = (3+5)(3+1)(3-2,5)(3-4,5) < 0$. Функция отрицательна.
• Промежуток $(-1; 2,5)$: возьмем $x=0$. $y = (0+5)(0+1)(0-2,5)(0-4,5) > 0$. Функция положительна.
• Промежуток $(-5; -1)$: возьмем $x=-2$. $y = (-2+5)(-2+1)(-2-2,5)(-2-4,5) < 0$. Функция отрицательна.
• Промежуток $(-\infty; -5)$: возьмем $x=-6$. $y = (-6+5)(-6+1)(-6-2,5)(-6-4,5) > 0$. Функция положительна.

Таким образом, значения функции положительны ($y>0$) на промежутках $(-\infty; -5)$, $(-1; 2,5)$ и $(4,5; +\infty)$.
Значения функции отрицательны ($y<0$) на промежутках $(-5; -1)$ и $(2,5; 4,5)$.
Ответ: Для функции, нулями которой являются числа -5; -1; 2,5; 4,5 (например, $y=(x+5)(x+1)(x-2,5)(x-4,5)$), значения положительны при $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 2,5) \cup (4,5; +\infty)$ и отрицательны при $x \in (-5; -1) \cup (2,5; 4,5)$.

783 Постройте график функции и прочитайте по графику её свойства:

а) $y = x^2$;

б) $y = -x^3$;

в) $y = |x|$;

г) $y = \sqrt{x}.$

а) $y = x^2$

Графиком функции является парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. График симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2

--|----|----|---|---|---

y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4

Соединив эти точки плавной линией, получим параболу.

Прочитаем свойства функции по её графику:

1. Область определения: функция определена для всех значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Множество значений: так как $x^2 \ge 0$, функция принимает только неотрицательные значения. $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $x^2 = 0$, то есть при $x = 0$. График пересекает ось абсцисс в точке (0, 0).

4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при всех $x \neq 0$, то есть на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

5. Четность: функция четная, так как её график симметричен относительно оси Oy. Алгебраически: $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$.

6. Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Ограниченность: функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху.

8. Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения, $y_{min} = 0$. Наибольшего значения не существует.

Ответ: Свойства функции $y=x^2$: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = [0; +\infty)$; нуль функции $x=0$; $y>0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$; четная; ограничена снизу; $y_{min} = 0$ при $x=0$.

б) $y = -x^3$

Графиком функции является кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Этот график можно получить, отразив график функции $y=x^3$ относительно оси Ox. Для построения составим таблицу значений:

x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2

--|----|----|---|----|----

y | 8 | 1 | 0 | -1 | -8

Соединив эти точки плавной линией, получим график.

Прочитаем свойства функции по её графику:

1. Область определения: функция определена для всех значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Множество значений: функция принимает любые действительные значения. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $-x^3 = 0$, то есть при $x = 0$. График пересекает оси координат в точке (0, 0).

4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x < 0$, то есть на промежутке $(-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x > 0$, то есть на промежутке $(0; +\infty)$.

5. Нечетность: функция нечетная, так как её график симметричен относительно начала координат. Алгебраически: $f(-x) = -(-x)^3 = -(-x^3) = x^3 = -f(x)$.

6. Монотонность: функция убывает на всей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

7. Ограниченность: функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

8. Экстремумы: у функции нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Ответ: Свойства функции $y=-x^3$: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$; нуль функции $x=0$; $y>0$ при $x<0$, $y<0$ при $x>0$; функция убывает на $(-\infty; +\infty)$; нечетная; не ограничена; экстремумов нет.

в) $y = |x|$

График функции $y = |x|$ состоит из двух лучей, исходящих из начала координат. При $x \ge 0$, $y = x$ (биссектриса первого координатного угла). При $x < 0$, $y = -x$ (биссектриса второго координатного угла). Для построения составим таблицу значений:

x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2

--|----|----|---|---|---

y | 2 | 1 | 0 | 1 | 2

График имеет V-образную форму с вершиной в точке (0, 0).

Прочитаем свойства функции по её графику:

1. Область определения: функция определена для всех значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Множество значений: модуль числа всегда неотрицателен. $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $|x| = 0$, то есть при $x = 0$.

4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при всех $x \neq 0$, то есть на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

5. Четность: функция четная, так как её график симметричен относительно оси Oy. Алгебраически: $f(-x) = |-x| = |x| = f(x)$.

6. Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Ограниченность: функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху.

8. Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения, $y_{min} = 0$. Наибольшего значения нет.

Ответ: Свойства функции $y=|x|$: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = [0; +\infty)$; нуль функции $x=0$; $y>0$ при $x \neq 0$; функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$; четная; ограничена снизу; $y_{min} = 0$ при $x=0$.

г) $y = \sqrt{x}$

Графиком функции является верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Функция определена только для неотрицательных значений $x$. График начинается в точке (0, 0) и плавно поднимается вправо. Для построения составим таблицу значений:

x | 0 | 1 | 4 | 9

--|---|---|---|---

y | 0 | 1 | 2 | 3

Соединив эти точки плавной кривой, получим график.

Прочитаем свойства функции по её графику:

1. Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$. $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Множество значений: арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $\sqrt{x} = 0$, то есть при $x = 0$.

4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > 0$, то есть на промежутке $(0; +\infty)$.

5. Четность/нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной, так как её область определения несимметрична относительно нуля.

6. Монотонность: функция возрастает на всей области определения, то есть на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Ограниченность: функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху.

8. Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения, $y_{min} = 0$. Наибольшего значения нет.

Ответ: Свойства функции $y=\sqrt{x}$: область определения $D(y) = [0; +\infty)$; множество значений $E(y) = [0; +\infty)$; нуль функции $x=0$; $y>0$ при $x>0$; функция возрастает на $[0; +\infty)$; не является ни четной, ни нечетной; ограничена снизу; $y_{min} = 0$ при $x=0$.

784 Моделируем Начертите график какой-нибудь функции, обладающей следующими свойствами:

а) при $x \ge -1$ функция возрастает, а при $x \le -1$ функция убывает; нулями функции являются числа $-2$ и $1$;

б) функция возрастает при $x \le 2$ и при $5 \le x \le 7$; убывает при $2 \le x \le 5$ и при $x \ge 7$; при $x=2$ она принимает наибольшее значение;

в) значения функции положительны при $x < -3$ и при $x > 5$; отрицательны при $-3 < x < 5$; при $x=0$ она принимает наименьшее значение.

а)

Для построения графика функции, обладающей заданными свойствами, проанализируем условия:

1. При $x \ge -1$ функция возрастает, а при $x \le -1$ функция убывает. Это означает, что в точке $x = -1$ функция имеет минимум.
2. Нулями функции являются числа -2 и 1. Это означает, что график функции пересекает ось абсцисс (ось $Ox$) в точках с координатами $(-2, 0)$ и $(1, 0)$.

Начнем построение.

1. Отметим на оси $Ox$ точки $x = -2$ и $x = 1$. Это точки пересечения графика с осью.
2. Точка минимума находится на вертикальной прямой $x = -1$. Так как нули функции находятся по обе стороны от точки минимума, значение функции в точке минимума должно быть отрицательным. Выберем для наглядности значение $y = -2$. Таким образом, точка минимума имеет координаты $(-1, -2)$.
3. Теперь соединим эти точки плавной линией. Начиная слева, график убывает, проходит через точку $(-2, 0)$, достигает минимума в точке $(-1, -2)$, а затем возрастает, проходя через точку $(1, 0)$ и уходя вверх.

Полученный график удовлетворяет всем перечисленным условиям.

Ответ:

Примерный вид графика функции представлен на рисунке ниже. Красными точками отмечены нули функции и точка минимума.

б)

Проанализируем свойства функции:

1. Функция возрастает при $x \le 2$ и при $5 \le x \le 7$.
2. Функция убывает при $2 \le x \le 5$ и при $x \ge 7$.
3. При $x = 2$ она принимает наибольшее значение.

Из этих свойств следует, что функция имеет несколько экстремумов (максимумов и минимумов):

• В точке $x=2$ возрастание сменяется убыванием, значит, это точка локального максимума. По условию, это также наибольшее значение функции (глобальный максимум).
• В точке $x=5$ убывание сменяется возрастанием, значит, это точка локального минимума.
• В точке $x=7$ возрастание сменяется убыванием, значит, это точка локального максимума.

Для построения графика выберем конкретные значения в этих точках:

1. Пусть наибольшее значение в точке $x = 2$ равно $y = 4$. Координаты глобального максимума: $(2, 4)$.
2. В точке $x = 5$ функция имеет минимум. Значение должно быть меньше, чем в точке 2. Пусть $y = 1$. Координаты локального минимума: $(5, 1)$.
3. В точке $x = 7$ функция имеет локальный максимум. Значение должно быть больше, чем в точке 5, но меньше, чем в точке 2 (глобальный максимум). Пусть $y = 3$. Координаты локального максимума: $(7, 3)$.
4. Соединим эти точки плавной кривой, соблюдая интервалы возрастания и убывания.

Ответ:

Примерный вид графика функции представлен на рисунке ниже. Красными точками отмечены экстремумы функции.

в)

Проанализируем свойства функции:

1. Значения функции положительны ($y > 0$) при $x < -3$ и при $x > 5$.
2. Значения функции отрицательны ($y < 0$) при $-3 < x < 5$.
3. При $x = 0$ она принимает наименьшее значение.

Из этих условий можно сделать следующие выводы:

• Из смены знака функции следует, что график пересекает ось $Ox$ в точках $x = -3$ и $x = 5$. Это нули функции. Координаты точек: $(-3, 0)$ и $(5, 0)$.
• График расположен выше оси $Ox$ левее точки $x = -3$ и правее точки $x = 5$.
• График расположен ниже оси $Ox$ между точками $x = -3$ и $x = 5$.
• В точке $x = 0$ функция достигает своего наименьшего значения (глобального минимума). Так как точка $x = 0$ лежит в интервале $(-3, 5)$, где функция отрицательна, значение минимума будет отрицательным.

Для построения графика:

1. Отметим на оси $Ox$ нули функции: $(-3, 0)$ и $(5, 0)$.
2. Отметим точку минимума. Она находится на оси $Oy$ (так как $x=0$). Выберем для нее значение, например, $y=-2$. Координаты минимума: $(0, -2)$.
3. Соединим точки плавной кривой. Слева направо, график идет из положительной области, пересекает ось в точке $(-3, 0)$, опускается до минимума в $(0, -2)$, затем поднимается, пересекает ось в точке $(5, 0)$ и уходит вверх в положительную область.

Ответ:

Примерный вид графика функции представлен на рисунке ниже. Красными точками отмечены нули функции и точка минимума.

785 ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ Найдите нули функции:

a) $y = 5x - x^3$;

б) $y = 2x^3 - 6x^2 - 8x$;

в) $y = x^3 - x^2 - x + 1$;

г) $y = x^3 - x^2 + x - 1$;

д) $y = 8x^4 - 125x$;

е) $y = 2x^5 + 54x^2$.

а) Чтобы найти нули функции, необходимо приравнять значение функции $y$ к нулю и решить полученное уравнение:
$y = 5x - x^3$
$5x - x^3 = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5 - x^2) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$
или
$5 - x^2 = 0 \implies x^2 = 5 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{5}$
Ответ: $x_1=0, x_2=-\sqrt{5}, x_3=\sqrt{5}$.

б) Приравняем функцию к нулю:
$y = 2x^3 - 6x^2 - 8x$
$2x^3 - 6x^2 - 8x = 0$
Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(x^2 - 3x - 4) = 0$
Отсюда $2x = 0$ или $x^2 - 3x - 4 = 0$.
Из первого уравнения получаем $x_1 = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни:
$x_2 = 4$ и $x_3 = -1$.
(Проверка: $x_2 + x_3 = 4 + (-1) = 3$; $x_2 \cdot x_3 = 4 \cdot (-1) = -4$).
Ответ: $x_1=0, x_2=-1, x_3=4$.

в) Приравняем функцию к нулю:
$y = x^3 - x^2 - x + 1$
$x^3 - x^2 - x + 1 = 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(x^3 - x^2) - (x - 1) = 0$
$x^2(x - 1) - 1(x - 1) = 0$
$(x - 1)(x^2 - 1) = 0$
Применим формулу разности квадратов ко второму множителю:
$(x - 1)(x - 1)(x + 1) = 0$
$(x - 1)^2(x + 1) = 0$
Отсюда $x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$.
$x_1 = 1$
$x_2 = -1$
Ответ: $x_1=1, x_2=-1$.

г) Приравняем функцию к нулю:
$y = x^3 - x^2 + x - 1$
$x^3 - x^2 + x - 1 = 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(x^3 - x^2) + (x - 1) = 0$
$x^2(x - 1) + 1(x - 1) = 0$
$(x - 1)(x^2 + 1) = 0$
Отсюда $x - 1 = 0$ или $x^2 + 1 = 0$.
Из первого уравнения получаем $x = 1$.
Второе уравнение $x^2 + 1 = 0$ (или $x^2 = -1$) не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
Ответ: $x=1$.

д) Приравняем функцию к нулю:
$y = 8x^4 - 125x$
$8x^4 - 125x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(8x^3 - 125) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$ или $8x^3 - 125 = 0$.
Решим второе уравнение, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$(2x)^3 - 5^3 = 0$
$(2x - 5)((2x)^2 + 2x \cdot 5 + 5^2) = 0$
$(2x - 5)(4x^2 + 10x + 25) = 0$
Отсюда $2x - 5 = 0$ или $4x^2 + 10x + 25 = 0$.
Из первого уравнения $2x = 5 \implies x_2 = \frac{5}{2} = 2.5$.
Для второго уравнения $4x^2 + 10x + 25 = 0$ найдем дискриминант: $D = 10^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 100 - 400 = -300$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Ответ: $x_1=0, x_2=2.5$.

е) Приравняем функцию к нулю:
$y = 2x^5 + 54x^2$
$2x^5 + 54x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $2x^2$ за скобки:
$2x^2(x^3 + 27) = 0$
Отсюда $2x^2 = 0$ или $x^3 + 27 = 0$.
Из первого уравнения $x_1 = 0$.
Решим второе уравнение, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$x^3 + 3^3 = 0$
$(x + 3)(x^2 - 3x + 9) = 0$
Отсюда $x + 3 = 0$ или $x^2 - 3x + 9 = 0$.
Из первого уравнения $x_2 = -3$.
Для второго уравнения $x^2 - 3x + 9 = 0$ найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Ответ: $x_1=0, x_2=-3$.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (786-788)

786 На рисунке 5.33 построены графики квадратных трёхчленов:

$f(x) = x^2 - 4x + 4$, $g(x) = x^2 - 2x + 4$, $h(x) = 2x^2 - 6x + 4$.

Соотнесите каждый график с формулой.

Рис. 5.33

Чтобы соотнести каждый график с соответствующей ему формулой, мы проанализируем ключевые свойства квадратичных функций и их графиков (парабол). Основным таким свойством являются координаты вершины параболы.

Для квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$, абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -b/(2a)$. Ордината $y_v$ находится подстановкой $x_v$ в уравнение функции.

Также заметим, что у всех трех функций свободный член $c=4$. Это означает, что все три параболы пересекают ось ординат в точке $(0, 4)$, что мы и видим на всех графиках. Поэтому для различения графиков необходимо найти их вершины.

f(x) = x^2 - 4x + 4

Для данной функции коэффициенты $a=1$, $b=-4$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -(-4) / (2 \cdot 1) = 4 / 2 = 2$.
Найдем ординату вершины: $y_v = f(2) = 2^2 - 4(2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.
Следовательно, вершина этой параболы находится в точке $(2, 0)$. На рисунке такая вершина у графика под номером ①.

Ответ: График ①.

g(x) = x^2 - 2x + 4

Для данной функции коэффициенты $a=1$, $b=-2$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -(-2) / (2 \cdot 1) = 2 / 2 = 1$.
Найдем ординату вершины: $y_v = g(1) = 1^2 - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$.
Следовательно, вершина этой параболы находится в точке $(1, 3)$. На рисунке такая вершина у графика под номером ②.

Ответ: График ②.

h(x) = 2x^2 - 6x + 4

Для данной функции коэффициенты $a=2$, $b=-6$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -(-6) / (2 \cdot 2) = 6 / 4 = 1.5$.
Найдем ординату вершины: $y_v = h(1.5) = 2(1.5)^2 - 6(1.5) + 4 = 2(2.25) - 9 + 4 = 4.5 - 9 + 4 = -0.5$.
Следовательно, вершина этой параболы находится в точке $(1.5, -0.5)$. На рисунке такая вершина у графика под номером ③.
Дополнительно можно отметить, что у этой функции коэффициент $a=2$ больше, чем у функций $f(x)$ и $g(x)$ (где $a=1$). Это значит, что график функции $h(x)$ является более "узким" по сравнению с другими, что визуально подтверждается на рисунке.

Ответ: График ③.