Номер 785, страница 253 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 5. Функции. 5.4. Свойства функций. Упражнения - номер 785, страница 253.

Условие.

785 ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ Найдите нули функции:

a) $y = 5x - x^3$;

б) $y = 2x^3 - 6x^2 - 8x$;

в) $y = x^3 - x^2 - x + 1$;

г) $y = x^3 - x^2 + x - 1$;

д) $y = 8x^4 - 125x$;

е) $y = 2x^5 + 54x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы найти нули функции, необходимо приравнять значение функции $y$ к нулю и решить полученное уравнение:
$y = 5x - x^3$
$5x - x^3 = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5 - x^2) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$
или
$5 - x^2 = 0 \implies x^2 = 5 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{5}$
Ответ: $x_1=0, x_2=-\sqrt{5}, x_3=\sqrt{5}$.

б) Приравняем функцию к нулю:
$y = 2x^3 - 6x^2 - 8x$
$2x^3 - 6x^2 - 8x = 0$
Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(x^2 - 3x - 4) = 0$
Отсюда $2x = 0$ или $x^2 - 3x - 4 = 0$.
Из первого уравнения получаем $x_1 = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни:
$x_2 = 4$ и $x_3 = -1$.
(Проверка: $x_2 + x_3 = 4 + (-1) = 3$; $x_2 \cdot x_3 = 4 \cdot (-1) = -4$).
Ответ: $x_1=0, x_2=-1, x_3=4$.

в) Приравняем функцию к нулю:
$y = x^3 - x^2 - x + 1$
$x^3 - x^2 - x + 1 = 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(x^3 - x^2) - (x - 1) = 0$
$x^2(x - 1) - 1(x - 1) = 0$
$(x - 1)(x^2 - 1) = 0$
Применим формулу разности квадратов ко второму множителю:
$(x - 1)(x - 1)(x + 1) = 0$
$(x - 1)^2(x + 1) = 0$
Отсюда $x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$.
$x_1 = 1$
$x_2 = -1$
Ответ: $x_1=1, x_2=-1$.

г) Приравняем функцию к нулю:
$y = x^3 - x^2 + x - 1$
$x^3 - x^2 + x - 1 = 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(x^3 - x^2) + (x - 1) = 0$
$x^2(x - 1) + 1(x - 1) = 0$
$(x - 1)(x^2 + 1) = 0$
Отсюда $x - 1 = 0$ или $x^2 + 1 = 0$.
Из первого уравнения получаем $x = 1$.
Второе уравнение $x^2 + 1 = 0$ (или $x^2 = -1$) не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
Ответ: $x=1$.

д) Приравняем функцию к нулю:
$y = 8x^4 - 125x$
$8x^4 - 125x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(8x^3 - 125) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$ или $8x^3 - 125 = 0$.
Решим второе уравнение, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$(2x)^3 - 5^3 = 0$
$(2x - 5)((2x)^2 + 2x \cdot 5 + 5^2) = 0$
$(2x - 5)(4x^2 + 10x + 25) = 0$
Отсюда $2x - 5 = 0$ или $4x^2 + 10x + 25 = 0$.
Из первого уравнения $2x = 5 \implies x_2 = \frac{5}{2} = 2.5$.
Для второго уравнения $4x^2 + 10x + 25 = 0$ найдем дискриминант: $D = 10^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 100 - 400 = -300$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Ответ: $x_1=0, x_2=2.5$.

е) Приравняем функцию к нулю:
$y = 2x^5 + 54x^2$
$2x^5 + 54x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $2x^2$ за скобки:
$2x^2(x^3 + 27) = 0$
Отсюда $2x^2 = 0$ или $x^3 + 27 = 0$.
Из первого уравнения $x_1 = 0$.
Решим второе уравнение, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$x^3 + 3^3 = 0$
$(x + 3)(x^2 - 3x + 9) = 0$
Отсюда $x + 3 = 0$ или $x^2 - 3x + 9 = 0$.
Из первого уравнения $x_2 = -3$.
Для второго уравнения $x^2 - 3x + 9 = 0$ найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Ответ: $x_1=0, x_2=-3$.