Номер 786, страница 253 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.4. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 786, страница 253.

Условие.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (786-788)

786 На рисунке 5.33 построены графики квадратных трёхчленов:

$f(x) = x^2 - 4x + 4$, $g(x) = x^2 - 2x + 4$, $h(x) = 2x^2 - 6x + 4$.

Соотнесите каждый график с формулой.

Рис. 5.33

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы соотнести каждый график с соответствующей ему формулой, мы проанализируем ключевые свойства квадратичных функций и их графиков (парабол). Основным таким свойством являются координаты вершины параболы.

Для квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$, абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -b/(2a)$. Ордината $y_v$ находится подстановкой $x_v$ в уравнение функции.

Также заметим, что у всех трех функций свободный член $c=4$. Это означает, что все три параболы пересекают ось ординат в точке $(0, 4)$, что мы и видим на всех графиках. Поэтому для различения графиков необходимо найти их вершины.

f(x) = x^2 - 4x + 4

Для данной функции коэффициенты $a=1$, $b=-4$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -(-4) / (2 \cdot 1) = 4 / 2 = 2$.
Найдем ординату вершины: $y_v = f(2) = 2^2 - 4(2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.
Следовательно, вершина этой параболы находится в точке $(2, 0)$. На рисунке такая вершина у графика под номером ①.

Ответ: График ①.

g(x) = x^2 - 2x + 4

Для данной функции коэффициенты $a=1$, $b=-2$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -(-2) / (2 \cdot 1) = 2 / 2 = 1$.
Найдем ординату вершины: $y_v = g(1) = 1^2 - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$.
Следовательно, вершина этой параболы находится в точке $(1, 3)$. На рисунке такая вершина у графика под номером ②.

Ответ: График ②.

h(x) = 2x^2 - 6x + 4

Для данной функции коэффициенты $a=2$, $b=-6$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -(-6) / (2 \cdot 2) = 6 / 4 = 1.5$.
Найдем ординату вершины: $y_v = h(1.5) = 2(1.5)^2 - 6(1.5) + 4 = 2(2.25) - 9 + 4 = 4.5 - 9 + 4 = -0.5$.
Следовательно, вершина этой параболы находится в точке $(1.5, -0.5)$. На рисунке такая вершина у графика под номером ③.
Дополнительно можно отметить, что у этой функции коэффициент $a=2$ больше, чем у функций $f(x)$ и $g(x)$ (где $a=1$). Это значит, что график функции $h(x)$ является более "узким" по сравнению с другими, что визуально подтверждается на рисунке.

Ответ: График ③.