Номер 3, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 5.5. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 3, страница 258.

Условие.

Среди линейных функций, заданных формулами $y = -5x + 1$, $y = \frac{1}{3}x$, $y = -4x$, $y = 2x - 2$, найдите возрастающие функции и убывающие функции. Покажите схематически, как расположены графики этих функций на координатной плоскости.

Решение 3.

Решение 4.

Для определения, является ли линейная функция, заданная формулой $y = kx + b$, возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать знак ее углового коэффициента $k$.

• Если коэффициент $k > 0$, то функция является возрастающей.
• Если коэффициент $k < 0$, то функция является убывающей.

Возрастающие функции

Найдем функции, для которых угловой коэффициент $k$ положителен.

• Для функции $y = \frac{1}{3}x$, угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{3} > 0$, функция является возрастающей.

• Для функции $y = 2x - 2$, угловой коэффициент $k = 2$. Так как $2 > 0$, функция является возрастающей.

Ответ: $y = \frac{1}{3}x$ и $y = 2x - 2$.

Убывающие функции

Найдем функции, для которых угловой коэффициент $k$ отрицателен.

• Для функции $y = -5x + 1$, угловой коэффициент $k = -5$. Так как $-5 < 0$, функция является убывающей.

• Для функции $y = -4x$, угловой коэффициент $k = -4$. Так как $-4 < 0$, функция является убывающей.

Ответ: $y = -5x + 1$ и $y = -4x$.

Схематическое расположение графиков на координатной плоскости

Графиком каждой линейной функции является прямая. Ее положение на плоскости определяется угловым коэффициентом $k$ (отвечает за наклон и направление) и свободным членом $b$ (определяет точку пересечения с осью ординат $OY$).

• $y = \frac{1}{3}x$: возрастающая ($k = \frac{1}{3}$), проходит через начало координат ($b=0$). График расположен в I и III координатных четвертях.

• $y = 2x - 2$: возрастающая ($k = 2$), пересекает ось $OY$ в точке $(0, -2)$. Так как $2 > \frac{1}{3}$, эта прямая имеет больший угол наклона к оси $OX$. График расположен в I, III и IV четвертях.

• $y = -4x$: убывающая ($k = -4$), проходит через начало координат ($b=0$). График расположен во II и IV четвертях.

• $y = -5x + 1$: убывающая ($k = -5$), пересекает ось $OY$ в точке $(0, 1)$. Так как $|-5| > |-4|$, эта прямая является более "крутой" (наклонена под большим углом к оси $OX$), чем график $y = -4x$. График расположен в I, II и IV четвертях.

Ниже представлена схема расположения графиков данных функций.

Ответ: Схема расположения графиков показана на рисунке выше. Прямые $y=\frac{1}{3}x$ и $y=2x-2$ являются возрастающими, а прямые $y=-5x+1$ и $y=-4x$ — убывающими.