Номер 789, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.4. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 789, страница 254.

Условие.

789 Постройте график функции и перечислите её свойства:

а) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } |x| \le 1 \\ 1, & \text{если } |x| > 1; \end{cases}$ б) $y = \begin{cases} -8, & \text{если } x < -2 \\ x^3, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ 8, & \text{если } x > 2. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } |x| \le 1 \\ 1, & \text{если } |x| > 1 \end{cases}$

Для построения графика и анализа функции раскроем модуль в условиях. Неравенство $|x| \le 1$ эквивалентно двойному неравенству $-1 \le x \le 1$. Неравенство $|x| > 1$ эквивалентно совокупности $x < -1$ или $x > 1$. Таким образом, функцию можно переписать в виде:

$y = \begin{cases} 1, & \text{если } x < -1 \\ x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ 1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Построение графика:

1. На отрезке $[-1, 1]$ строим график функции $y=x^2$. Это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$, проходящая через точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

2. На промежутке $(-\infty, -1)$ строим график функции $y=1$. Это горизонтальный луч, идущий из точки $(-1, 1)$ влево.

3. На промежутке $(1, \infty)$ строим график функции $y=1$. Это горизонтальный луч, идущий из точки $(1, 1)$ вправо.

Так как в точках $x=-1$ и $x=1$ значения всех частей функции совпадают ($y(-1) = (-1)^2 = 1$ и $y(1) = 1^2 = 1$), график является непрерывной линией.

Свойства функции:

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений: на отрезке $[-1, 1]$ функция принимает значения от $0$ (в точке $x=0$) до $1$. Вне этого отрезка значение функции равно $1$. Следовательно, область значений функции – отрезок $[0, 1]$. $E(y) = [0, 1]$.

3. Четность: $y(-x) = \begin{cases} (-x)^2, & \text{если } |-x| \le 1 \\ 1, & \text{если } |-x| > 1 \end{cases} = \begin{cases} x^2, & \text{если } |x| \le 1 \\ 1, & \text{если } |x| > 1 \end{cases} = y(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

4. Нули функции: $y=0$ при $x^2=0$, что выполняется только при $x=0$. Это единственный нуль функции.

5. Промежутки знакопостоянства: $y(x) \ge 0$ для всех $x$ из области определения. $y(x) > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

6. Монотонность:

• функция постоянна на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$, где $y=1$;
• функция убывает на отрезке $[-1, 0]$;
• функция возрастает на отрезке $[0, 1]$.

7. Экстремумы: в точке $x=0$ функция имеет минимум, $y_{min} = 0$. Максимальное значение $y_{max}=1$ достигается при всех $x$ таких, что $|x| \ge 1$.

8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: График функции представляет собой часть параболы $y=x^2$ на отрезке $[-1, 1]$, соединенную с двумя горизонтальными лучами $y=1$ при $x \le -1$ и $x \ge 1$. Свойства функции: 1) $D(y)=(-\infty, +\infty)$; 2) $E(y)=[0, 1]$; 3) четная; 4) нуль $x=0$; 5) $y>0$ при $x \ne 0$; 6) убывает на $[-1, 0]$, возрастает на $[0, 1]$, постоянна на $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$; 7) $y_{min}=y(0)=0$, $y_{max}=1$ при $|x| \ge 1$; 8) непрерывна.

б) $y = \begin{cases} -8, & \text{если } x < -2 \\ x^3, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ 8, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Построение графика:

1. На отрезке $[-2, 2]$ строим график функции $y=x^3$. Это часть кубической параболы, проходящая через точки $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.

2. На промежутке $(-\infty, -2)$ строим график функции $y=-8$. Это горизонтальный луч, который заканчивается в точке $(-2, -8)$, так как $y(-2) = (-2)^3 = -8$.

3. На промежутке $(2, \infty)$ строим график функции $y=8$. Это горизонтальный луч, который начинается из точки $(2, 8)$, так как $y(2) = 2^3 = 8$.

График является непрерывной линией, так как на границах промежутков значения функций совпадают.

Свойства функции:

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений: на отрезке $[-2, 2]$ функция $y=x^3$ принимает все значения от $-8$ до $8$. Вне этого отрезка значения функции равны $-8$ и $8$. Следовательно, область значений функции – отрезок $[-8, 8]$. $E(y) = [-8, 8]$.

3. Четность: проверим значение $y(-x)$. Если $-2 \le x \le 2$, то $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. Если $x > 2$, то $-x < -2$, и $y(-x) = -8$, а $y(x) = 8$, то есть $y(-x) = -y(x)$. Если $x < -2$, то $-x > 2$, и $y(-x) = 8$, а $y(x) = -8$, то есть $y(-x) = -y(x)$. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

4. Нули функции: $y=0$ при $x^3=0$, что выполняется только при $x=0$. Это единственный нуль функции.

5. Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (-\infty, 0)$; $y > 0$ при $x \in (0, +\infty)$.

6. Монотонность:

• функция постоянна на промежутке $(-\infty, -2]$, где $y=-8$;
• функция возрастает на отрезке $[-2, 2]$;
• функция постоянна на промежутке $[2, \infty)$, где $y=8$.

В целом, функция является неубывающей на всей области определения.

7. Экстремумы: функция не имеет точек локального максимума или минимума. Глобальный минимум $y_{min}=-8$ достигается при всех $x \le -2$. Глобальный максимум $y_{max}=8$ достигается при всех $x \ge 2$.

8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: График функции представляет собой часть кубической параболы $y=x^3$ на отрезке $[-2, 2]$, соединенную с двумя горизонтальными лучами: $y=-8$ при $x \le -2$ и $y=8$ при $x \ge 2$. Свойства функции: 1) $D(y)=(-\infty, +\infty)$; 2) $E(y)=[-8, 8]$; 3) нечетная; 4) нуль $x=0$; 5) $y>0$ при $x>0$, $y<0$ при $x<0$; 6) неубывающая; возрастает на $[-2, 2]$; 7) $y_{min}=-8$ при $x \le -2$, $y_{max}=8$ при $x \ge 2$; 8) непрерывна.