Номер 783, страница 253 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.4. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 783, страница 253.

Условие.

783 Постройте график функции и прочитайте по графику её свойства:

а) $y = x^2$;

б) $y = -x^3$;

в) $y = |x|$;

г) $y = \sqrt{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = x^2$

Графиком функции является парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. График симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2

--|----|----|---|---|---

y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4

Соединив эти точки плавной линией, получим параболу.

Прочитаем свойства функции по её графику:

1. Область определения: функция определена для всех значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Множество значений: так как $x^2 \ge 0$, функция принимает только неотрицательные значения. $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $x^2 = 0$, то есть при $x = 0$. График пересекает ось абсцисс в точке (0, 0).

4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при всех $x \neq 0$, то есть на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

5. Четность: функция четная, так как её график симметричен относительно оси Oy. Алгебраически: $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$.

6. Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Ограниченность: функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху.

8. Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения, $y_{min} = 0$. Наибольшего значения не существует.

Ответ: Свойства функции $y=x^2$: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = [0; +\infty)$; нуль функции $x=0$; $y>0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$; четная; ограничена снизу; $y_{min} = 0$ при $x=0$.

б) $y = -x^3$

Графиком функции является кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Этот график можно получить, отразив график функции $y=x^3$ относительно оси Ox. Для построения составим таблицу значений:

x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2

--|----|----|---|----|----

y | 8 | 1 | 0 | -1 | -8

Соединив эти точки плавной линией, получим график.

Прочитаем свойства функции по её графику:

1. Область определения: функция определена для всех значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Множество значений: функция принимает любые действительные значения. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $-x^3 = 0$, то есть при $x = 0$. График пересекает оси координат в точке (0, 0).

4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x < 0$, то есть на промежутке $(-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x > 0$, то есть на промежутке $(0; +\infty)$.

5. Нечетность: функция нечетная, так как её график симметричен относительно начала координат. Алгебраически: $f(-x) = -(-x)^3 = -(-x^3) = x^3 = -f(x)$.

6. Монотонность: функция убывает на всей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

7. Ограниченность: функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

8. Экстремумы: у функции нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Ответ: Свойства функции $y=-x^3$: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$; нуль функции $x=0$; $y>0$ при $x<0$, $y<0$ при $x>0$; функция убывает на $(-\infty; +\infty)$; нечетная; не ограничена; экстремумов нет.

в) $y = |x|$

График функции $y = |x|$ состоит из двух лучей, исходящих из начала координат. При $x \ge 0$, $y = x$ (биссектриса первого координатного угла). При $x < 0$, $y = -x$ (биссектриса второго координатного угла). Для построения составим таблицу значений:

x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2

--|----|----|---|---|---

y | 2 | 1 | 0 | 1 | 2

График имеет V-образную форму с вершиной в точке (0, 0).

Прочитаем свойства функции по её графику:

1. Область определения: функция определена для всех значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Множество значений: модуль числа всегда неотрицателен. $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $|x| = 0$, то есть при $x = 0$.

4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при всех $x \neq 0$, то есть на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

5. Четность: функция четная, так как её график симметричен относительно оси Oy. Алгебраически: $f(-x) = |-x| = |x| = f(x)$.

6. Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Ограниченность: функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху.

8. Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения, $y_{min} = 0$. Наибольшего значения нет.

Ответ: Свойства функции $y=|x|$: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = [0; +\infty)$; нуль функции $x=0$; $y>0$ при $x \neq 0$; функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$; четная; ограничена снизу; $y_{min} = 0$ при $x=0$.

г) $y = \sqrt{x}$

Графиком функции является верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Функция определена только для неотрицательных значений $x$. График начинается в точке (0, 0) и плавно поднимается вправо. Для построения составим таблицу значений:

x | 0 | 1 | 4 | 9

--|---|---|---|---

y | 0 | 1 | 2 | 3

Соединив эти точки плавной кривой, получим график.

Прочитаем свойства функции по её графику:

1. Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$. $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Множество значений: арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $\sqrt{x} = 0$, то есть при $x = 0$.

4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > 0$, то есть на промежутке $(0; +\infty)$.

5. Четность/нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной, так как её область определения несимметрична относительно нуля.

6. Монотонность: функция возрастает на всей области определения, то есть на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Ограниченность: функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху.

8. Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения, $y_{min} = 0$. Наибольшего значения нет.

Ответ: Свойства функции $y=\sqrt{x}$: область определения $D(y) = [0; +\infty)$; множество значений $E(y) = [0; +\infty)$; нуль функции $x=0$; $y>0$ при $x>0$; функция возрастает на $[0; +\infty)$; не является ни четной, ни нечетной; ограничена снизу; $y_{min} = 0$ при $x=0$.