Номер 782, страница 253 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.4. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 782, страница 253.

Условие.

782 МОДЕЛИРУЕМ Начертите график какой-нибудь функции, нулями которой являются числа:

а) -3,5; 0; 4;

б) -5; -1; 2,5; 4,5.

Для каждой функции укажите промежутки, на которых её значения положительны; отрицательны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи нам нужно построить функцию, которая обращается в ноль в заданных точках. Эти точки называются нулями функции и являются точками пересечения графика функции с осью абсцисс (осью Ox). Самый простой способ создать такую функцию — это использовать многочлен, корни которого и есть заданные нули.

Если числа $x_1, x_2, \dots, x_n$ являются нулями функции, то ее можно представить в виде $y = a(x - x_1)(x - x_2)\dots(x - n)$, где $a$ — любое ненулевое число. Для простоты мы будем использовать $a=1$.

а) Нулями функции являются числа: -3,5; 0; 4.

1. Построение функции.
Составим функцию, используя данные нули. Пусть это будет многочлен: $y = (x - (-3,5))(x - 0)(x - 4)$
Упростим выражение: $y = x(x + 3,5)(x - 4)$

2. Эскиз графика.
Это кубическая функция (многочлен третьей степени). Ее график — это непрерывная кривая, которая пересекает ось Ox в точках $x = -3,5$, $x = 0$ и $x = 4$. Поскольку старший коэффициент при $x^3$ положителен, при $x \to +\infty$ функция уходит на $+\infty$, а при $x \to -\infty$ — на $-\infty$. График можно представить так: кривая идет из левого нижнего квадранта, пересекает ось Ox в точке -3,5, поднимается, достигает локального максимума, затем опускается, пересекает ось Ox в точке 0, уходит в отрицательную область, достигает локального минимума, снова поднимается, пересекает ось Ox в точке 4 и уходит в правый верхний квадрант.

3. Определение промежутков знакопостоянства.
Нули функции делят числовую прямую на четыре промежутка: $(-\infty; -3,5)$, $(-3,5; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них методом интервалов.

• Промежуток $(4; +\infty)$: возьмем $x=5$. $y = 5(5 + 3,5)(5 - 4) = 5 \cdot 8,5 \cdot 1 > 0$. Функция положительна.
• Промежуток $(0; 4)$: возьмем $x=1$. $y = 1(1 + 3,5)(1 - 4) = 1 \cdot 4,5 \cdot (-3) < 0$. Функция отрицательна.
• Промежуток $(-3,5; 0)$: возьмем $x=-1$. $y = -1(-1 + 3,5)(-1 - 4) = (-1) \cdot 2,5 \cdot (-5) > 0$. Функция положительна.
• Промежуток $(-\infty; -3,5)$: возьмем $x=-4$. $y = -4(-4 + 3,5)(-4 - 4) = (-4) \cdot (-0,5) \cdot (-8) < 0$. Функция отрицательна.

Таким образом, значения функции положительны ($y>0$) на промежутках $(-3,5; 0)$ и $(4; +\infty)$.
Значения функции отрицательны ($y<0$) на промежутках $(-\infty; -3,5)$ и $(0; 4)$.
Ответ: Для функции, нулями которой являются числа -3,5; 0; 4 (например, $y=x(x+3,5)(x-4)$), значения положительны при $x \in (-3,5; 0) \cup (4; +\infty)$ и отрицательны при $x \in (-\infty; -3,5) \cup (0; 4)$.

б) Нулями функции являются числа: -5; -1; 2,5; 4,5.

1. Построение функции.
Составим функцию, используя данные нули: $y = (x - (-5))(x - (-1))(x - 2,5)(x - 4,5)$
Упростим выражение: $y = (x + 5)(x + 1)(x - 2,5)(x - 4,5)$

2. Эскиз графика.
Это многочлен четвертой степени. Его график — это непрерывная кривая, пересекающая ось Ox в точках $x = -5$, $x = -1$, $x = 2,5$ и $x = 4,5$. Так как старший коэффициент при $x^4$ положителен, обе ветви графика уходят на $+\infty$. График по форме напоминает букву W. Кривая идет из левого верхнего квадранта, пересекает ось Ox в точке -5, опускается до локального минимума, поднимается и пересекает ось Ox в точке -1, достигает локального максимума, снова опускается и пересекает ось Ox в точке 2,5, достигает второго локального минимума, поднимается, пересекает ось Ox в точке 4,5 и уходит в правый верхний квадрант.

3. Определение промежутков знакопостоянства.
Нули функции делят числовую прямую на пять промежутков: $(-\infty; -5)$, $(-5; -1)$, $(-1; 2,5)$, $(2,5; 4,5)$ и $(4,5; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них.

• Промежуток $(4,5; +\infty)$: возьмем $x=5$. $y = (5+5)(5+1)(5-2,5)(5-4,5) > 0$. Функция положительна.
• Промежуток $(2,5; 4,5)$: возьмем $x=3$. $y = (3+5)(3+1)(3-2,5)(3-4,5) < 0$. Функция отрицательна.
• Промежуток $(-1; 2,5)$: возьмем $x=0$. $y = (0+5)(0+1)(0-2,5)(0-4,5) > 0$. Функция положительна.
• Промежуток $(-5; -1)$: возьмем $x=-2$. $y = (-2+5)(-2+1)(-2-2,5)(-2-4,5) < 0$. Функция отрицательна.
• Промежуток $(-\infty; -5)$: возьмем $x=-6$. $y = (-6+5)(-6+1)(-6-2,5)(-6-4,5) > 0$. Функция положительна.

Таким образом, значения функции положительны ($y>0$) на промежутках $(-\infty; -5)$, $(-1; 2,5)$ и $(4,5; +\infty)$.
Значения функции отрицательны ($y<0$) на промежутках $(-5; -1)$ и $(2,5; 4,5)$.
Ответ: Для функции, нулями которой являются числа -5; -1; 2,5; 4,5 (например, $y=(x+5)(x+1)(x-2,5)(x-4,5)$), значения положительны при $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 2,5) \cup (4,5; +\infty)$ и отрицательны при $x \in (-5; -1) \cup (2,5; 4,5)$.