Номер 784, страница 253 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.4. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 784, страница 253.

Условие.

784 Моделируем Начертите график какой-нибудь функции, обладающей следующими свойствами:

а) при $x \ge -1$ функция возрастает, а при $x \le -1$ функция убывает; нулями функции являются числа $-2$ и $1$;

б) функция возрастает при $x \le 2$ и при $5 \le x \le 7$; убывает при $2 \le x \le 5$ и при $x \ge 7$; при $x=2$ она принимает наибольшее значение;

в) значения функции положительны при $x < -3$ и при $x > 5$; отрицательны при $-3 < x < 5$; при $x=0$ она принимает наименьшее значение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для построения графика функции, обладающей заданными свойствами, проанализируем условия:

1. При $x \ge -1$ функция возрастает, а при $x \le -1$ функция убывает. Это означает, что в точке $x = -1$ функция имеет минимум.
2. Нулями функции являются числа -2 и 1. Это означает, что график функции пересекает ось абсцисс (ось $Ox$) в точках с координатами $(-2, 0)$ и $(1, 0)$.

Начнем построение.

1. Отметим на оси $Ox$ точки $x = -2$ и $x = 1$. Это точки пересечения графика с осью.
2. Точка минимума находится на вертикальной прямой $x = -1$. Так как нули функции находятся по обе стороны от точки минимума, значение функции в точке минимума должно быть отрицательным. Выберем для наглядности значение $y = -2$. Таким образом, точка минимума имеет координаты $(-1, -2)$.
3. Теперь соединим эти точки плавной линией. Начиная слева, график убывает, проходит через точку $(-2, 0)$, достигает минимума в точке $(-1, -2)$, а затем возрастает, проходя через точку $(1, 0)$ и уходя вверх.

Полученный график удовлетворяет всем перечисленным условиям.

Ответ:

Примерный вид графика функции представлен на рисунке ниже. Красными точками отмечены нули функции и точка минимума.

б)

Проанализируем свойства функции:

1. Функция возрастает при $x \le 2$ и при $5 \le x \le 7$.
2. Функция убывает при $2 \le x \le 5$ и при $x \ge 7$.
3. При $x = 2$ она принимает наибольшее значение.

Из этих свойств следует, что функция имеет несколько экстремумов (максимумов и минимумов):

• В точке $x=2$ возрастание сменяется убыванием, значит, это точка локального максимума. По условию, это также наибольшее значение функции (глобальный максимум).
• В точке $x=5$ убывание сменяется возрастанием, значит, это точка локального минимума.
• В точке $x=7$ возрастание сменяется убыванием, значит, это точка локального максимума.

Для построения графика выберем конкретные значения в этих точках:

1. Пусть наибольшее значение в точке $x = 2$ равно $y = 4$. Координаты глобального максимума: $(2, 4)$.
2. В точке $x = 5$ функция имеет минимум. Значение должно быть меньше, чем в точке 2. Пусть $y = 1$. Координаты локального минимума: $(5, 1)$.
3. В точке $x = 7$ функция имеет локальный максимум. Значение должно быть больше, чем в точке 5, но меньше, чем в точке 2 (глобальный максимум). Пусть $y = 3$. Координаты локального максимума: $(7, 3)$.
4. Соединим эти точки плавной кривой, соблюдая интервалы возрастания и убывания.

Ответ:

Примерный вид графика функции представлен на рисунке ниже. Красными точками отмечены экстремумы функции.

в)

Проанализируем свойства функции:

1. Значения функции положительны ($y > 0$) при $x < -3$ и при $x > 5$.
2. Значения функции отрицательны ($y < 0$) при $-3 < x < 5$.
3. При $x = 0$ она принимает наименьшее значение.

Из этих условий можно сделать следующие выводы:

• Из смены знака функции следует, что график пересекает ось $Ox$ в точках $x = -3$ и $x = 5$. Это нули функции. Координаты точек: $(-3, 0)$ и $(5, 0)$.
• График расположен выше оси $Ox$ левее точки $x = -3$ и правее точки $x = 5$.
• График расположен ниже оси $Ox$ между точками $x = -3$ и $x = 5$.
• В точке $x = 0$ функция достигает своего наименьшего значения (глобального минимума). Так как точка $x = 0$ лежит в интервале $(-3, 5)$, где функция отрицательна, значение минимума будет отрицательным.

Для построения графика:

1. Отметим на оси $Ox$ нули функции: $(-3, 0)$ и $(5, 0)$.
2. Отметим точку минимума. Она находится на оси $Oy$ (так как $x=0$). Выберем для нее значение, например, $y=-2$. Координаты минимума: $(0, -2)$.
3. Соединим точки плавной кривой. Слева направо, график идет из положительной области, пересекает ось в точке $(-3, 0)$, опускается до минимума в $(0, -2)$, затем поднимается, пересекает ось в точке $(5, 0)$ и уходит вверх в положительную область.

Ответ:

Примерный вид графика функции представлен на рисунке ниже. Красными точками отмечены нули функции и точка минимума.