Номер 787, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.4. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 787, страница 254.

Условие.

787 График какой из функций изображён на рисунке 5.34:

$f(x) = 2(x + 2)(x - 1)(x - 3);$

$g(x) = 2(x + 2)(1 - x)\left(x - \frac{7}{2}\right);$

$h(x) = 2(x + 2)(x - 1)\left(x - \frac{7}{2}\right);$

$p(x) = (x + 2)(x - 1)\left(x - \frac{7}{2}\right)?$

788 Задайте формулой какую-нибудь функ-

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, график какой из функций изображен на рисунке, необходимо проанализировать его ключевые свойства и сопоставить их со свойствами каждой из предложенных функций.

1. Анализ графика функции

Сначала определим основные характеристики функции по ее графику:

• Корни функции (точки пересечения с осью $Ox$): График пересекает ось абсцисс в трех точках. Видно, что это точки $x = -2$, $x = 1$ и $x = 3.5$. Представим $3.5$ в виде обыкновенной дроби: $3.5 = \frac{7}{2}$. Таким образом, функция имеет три корня: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = \frac{7}{2}$. Это означает, что формула функции должна содержать множители $(x - (-2))$, $(x-1)$ и $(x - \frac{7}{2})$, то есть $(x+2)(x-1)(x-\frac{7}{2})$.
• Поведение функции на бесконечности: Когда значение $x$ стремится к положительной бесконечности ($x \to +\infty$), график функции уходит вверх, то есть значение $y$ также стремится к положительной бесконечности ($y \to +\infty$). Это указывает на то, что коэффициент при старшей степени $x$ (в данном случае при $x^3$) является положительным числом.
• Точка пересечения с осью $Oy$: Найдем значение функции при $x=0$. По графику видно, что точка пересечения с осью ординат находится выше 10, примерно на уровне $y=14$.

2. Проверка предложенных функций

Теперь поочередно проверим каждую функцию на соответствие найденным характеристикам.

f(x) = 2(x + 2)(x - 1)(x - 3)
Корни этой функции: $x=-2$, $x=1$, $x=3$. Третий корень ($x=3$) не совпадает с корнем, определенным по графику ($x=3.5$). Следовательно, эта функция не подходит.

g(x) = 2(x + 2)(1 - x)(x - 7/2)
Преобразуем выражение: $g(x) = 2(x+2)(-(x-1))(x-\frac{7}{2}) = -2(x+2)(x-1)(x-\frac{7}{2})$.
Корни этой функции ($x=-2, x=1, x=\frac{7}{2}$) совпадают с корнями на графике. Однако коэффициент при старшей степени $x^3$ равен $-2$, он отрицательный. Это означает, что при $x \to +\infty$ функция должна стремиться к $-\infty$, что противоречит поведению графика. Следовательно, эта функция не подходит.

h(x) = 2(x + 2)(x - 1)(x - 7/2)
Корни этой функции ($x=-2, x=1, x=\frac{7}{2}$) полностью совпадают с корнями на графике. Коэффициент при старшей степени $x^3$ равен $2$, он положительный, что соответствует поведению графика ($y \to +\infty$ при $x \to +\infty$).
Теперь проверим точку пересечения с осью $Oy$, вычислив значение функции при $x=0$:
$h(0) = 2(0+2)(0-1)(0-\frac{7}{2}) = 2 \cdot 2 \cdot (-1) \cdot (-\frac{7}{2}) = -4 \cdot (-\frac{7}{2}) = \frac{28}{2} = 14$.
Полученное значение $y=14$ совпадает с точкой пересечения на графике. Все характеристики совпадают. Следовательно, это искомая функция.

p(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 7/2)
Корни и поведение на бесконечности (коэффициент при $x^3$ равен 1, что является положительным числом) соответствуют графику. Проверим точку пересечения с осью $Oy$ при $x=0$:
$p(0) = (0+2)(0-1)(0-\frac{7}{2}) = 2 \cdot (-1) \cdot (-\frac{7}{2}) = 7$.
Значение $y=7$ не совпадает со значением на графике ($y=14$). Следовательно, эта функция не подходит.

Ответ: На рисунке изображен график функции $h(x) = 2(x + 2)(x - 1)(x - \frac{7}{2})$.