Номер 780, страница 252 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.4. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 780, страница 252.

Условие.

Найдите нули функции (780–781).

780 а) $y = x^2 - 2x - 8;$

б) $y = x^2 - 9x;$

в) $y = 3x^2 + x - 2;$

г) $f(x) = 10 - x^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ (или $f(x)$) равно нулю. Чтобы найти нули функции, необходимо приравнять ее выражение к нулю и решить полученное уравнение.

а) $y = x^2 - 2x - 8$

Приравняем функцию к нулю:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Для его решения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-2$, $c=-8$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые мы найдем по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Следовательно, нули функции: -2 и 4.

Ответ: -2; 4.

б) $y = x^2 - 9x$

Приравняем функцию к нулю:

$x^2 - 9x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 9) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x - 9 = 0$

Из второго уравнения получаем $x_2 = 9$.

Следовательно, нули функции: 0 и 9.

Ответ: 0; 9.

в) $y = 3x^2 + x - 2$

Приравняем функцию к нулю:

$3x^2 + x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=3$, $b=1$, $c=-2$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Следовательно, нули функции: -1 и $\frac{2}{3}$.

Ответ: -1; $\frac{2}{3}$.

г) $f(x) = 10 - x^2$

Приравняем функцию к нулю:

$10 - x^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем $x^2$ в правую часть уравнения:

$x^2 = 10$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{10}$

Следовательно, нули функции: $-\sqrt{10}$ и $\sqrt{10}$.

Ответ: $-\sqrt{10}$; $\sqrt{10}$.