Номер 788, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 5. Функции. 5.4. Свойства функций. Упражнения - номер 788, страница 254.

Условие.

788 Задайте формулой какую-нибудь функцию, нулями которой являются числа:

а) $-3$; $1$; $7$;

б) $-4$; $\frac{5}{2}$; $\frac{1}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Если числа $x_1, x_2, \dots, x_n$ являются нулями функции, то её можно задать формулой в виде произведения $y = (x - x_1)(x - x_2)\dots(x - x_n)$. В данном случае нулями являются числа -3, 1 и 7. Подставим их в эту формулу:

$y = (x - (-3))(x - 1)(x - 7)$

Упрощая выражение, получаем:

$y = (x + 3)(x - 1)(x - 7)$

Это и есть формула одной из функций, удовлетворяющих условию. При подстановке любого из чисел -3, 1 или 7 в эту формулу один из множителей обратится в ноль, и, следовательно, вся функция будет равна нулю.

Ответ: $y = (x + 3)(x - 1)(x - 7)$.

б) Аналогично, используем заданные нули -4, $\frac{5}{2}$ и $\frac{1}{3}$ для построения функции:

$y = (x - (-4))(x - \frac{5}{2})(x - \frac{1}{3})$

$y = (x + 4)(x - \frac{5}{2})(x - \frac{1}{3})$

Хотя эта формула является верным ответом, её можно представить в виде, не содержащем дробей. Для этого домножим множитель $(x - \frac{5}{2})$ на 2, а множитель $(x - \frac{1}{3})$ на 3. При этом нули функции не изменятся, так как это равносильно умножению всей функции на ненулевую константу $2 \cdot 3 = 6$.

$y = (x + 4) \cdot 2(x - \frac{5}{2}) \cdot 3(x - \frac{1}{3}) = (x+4)(2x - 5)(3x - 1)$

Эта форма записи с целыми коэффициентами в множителях часто является более удобной.

Ответ: $y = (x + 4)(2x - 5)(3x - 1)$.