Номер 791, страница 259 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 791, страница 259.

Условие.

791 Николай заработал в каникулы 1000 р., работая на почте. Он тратит эти деньги в среднем по 25 р. в день.

Запишите формулу

Запишите формулу, выражающую зависимость оставшейся у него суммы денег $y$ от числа прошедших дней $x$.

Объясните линейность функции

Объясните, почему эта функция является линейной.

Укажите область определения

Укажите область определения функции.

Возрастающая или убывающая функция?

Возрастающей или убывающей является функция?

Найдите значение функции

Найдите значение функции при $x = 1$; $10$; $25$. В каждом случае объясните с точки зрения условия, что вы находите.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Запишите формулу, выражающую зависимость оставшейся у него суммы денег y от числа прошедших дней x.

Пусть $y$ — это оставшаяся сумма денег в рублях, а $x$ — количество прошедших дней. Изначально у Николая было 1000 рублей. Каждый день эта сумма уменьшается на 25 рублей. Сумма, потраченная за $x$ дней, составит $25 \cdot x$ рублей. Чтобы найти оставшуюся сумму $y$, нужно из начальной суммы вычесть потраченную.

Ответ: $y = 1000 - 25x$

Объясните, почему эта функция является линейной.

Линейная функция — это функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа. Полученную нами формулу $y = 1000 - 25x$ можно переписать в стандартном виде как $y = -25x + 1000$. В данном случае угловой коэффициент $k = -25$, а свободный член $b = 1000$. Поскольку зависимость $y$ от $x$ выражается формулой такого вида, она является линейной.

Ответ: Функция является линейной, так как она имеет вид $y = kx + b$, где $k=-25$ и $b=1000$.

Укажите область определения функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. В контексте задачи $x$ обозначает количество дней, поэтому оно не может быть отрицательным, то есть $x \ge 0$. Также трата денег имеет смысл только до тех пор, пока они не закончатся. Найдем, при каком значении $x$ оставшаяся сумма $y$ станет равной нулю:
$1000 - 25x = 0$
$25x = 1000$
$x = \frac{1000}{25} = 40$
Значит, деньги закончатся через 40 дней. Таким образом, $x$ может принимать целые значения от 0 до 40 включительно.

Ответ: Областью определения функции являются целые числа из отрезка $[0; 40]$, то есть $x \in \{0, 1, 2, ..., 40\}$.

Возрастающей или убывающей является функция?

Для линейной функции $y = kx + b$ ее возрастание или убывание определяется знаком углового коэффициента $k$. Если $k > 0$, функция возрастает. Если $k < 0$, функция убывает. В нашей функции $y = -25x + 1000$ коэффициент $k = -25$. Поскольку $k < 0$, функция является убывающей. Смысл этого в том, что с каждым прошедшим днем (увеличением $x$) количество денег у Николая (значение $y$) уменьшается.

Ответ: Функция является убывающей.

Найдите значение функции при x = 1; 10; 25. В каждом случае объясните с точки зрения условия, что вы находите.

Для нахождения значений функции подставим соответствующие значения $x$ в формулу $y = 1000 - 25x$.

При $x = 1$:
$y(1) = 1000 - 25 \cdot 1 = 975$.
Это означает, что через 1 день у Николая останется 975 рублей.

При $x = 10$:
$y(10) = 1000 - 25 \cdot 10 = 1000 - 250 = 750$.
Это означает, что через 10 дней у Николая останется 750 рублей.

При $x = 25$:
$y(25) = 1000 - 25 \cdot 25 = 1000 - 625 = 375$.
Это означает, что через 25 дней у Николая останется 375 рублей.

Ответ: При $x=1$ значение функции равно 975; при $x=10$ — 750; при $x=25$ — 375. Каждое значение представляет собой сумму денег в рублях, которая останется у Николая по прошествии соответствующего количества дней.