Номер 798, страница 260 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 798, страница 260.

Условие.

798 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

а) У вас имеется 10 р. и есть два способа увеличить эту сумму: ежедневно добавлять к ней 5 р. или ежедневно добавлять к ней 2 р. Составьте для каждого случая формулу зависимости имеющейся суммы денег $y$ от числа дней $x$.

Вариант 1: $y = 10 + 5x$

Вариант 2: $y = 10 + 2x$

В каком случае сумма будет увеличиваться быстрее? В одной системе координат постройте прямые, которым принадлежат точки графика каждой из функций, и отметьте эти точки для $1 \le x \le 7$.

б) Андрей планирует поработать во время летних каникул, и у него есть две возможности. На работе А он будет получать 50 р. в день. На работе В он в первый день получит 25 р., а затем ежедневно будет получать 50 р. Какой вариант выгоднее? Составьте формулу зависимости полученной суммы денег $y$ от числа рабочих дней $x$ для вариантов А и В.

Вариант А: $y = 50x$

Вариант В: $y = 25 + 50(x - 1)$ или $y = 50x - 25$

В одной системе координат постройте прямые, которым принадлежат точки графика каждой из функций, и отметьте эти точки для $1 \le x \le 5$. Существуют ли значения $x$, при которых значения $y$ равны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Пусть $y$ — имеющаяся сумма денег в рублях, а $x$ — количество прошедших дней. Изначально у нас есть 10 рублей.

Первый способ: ежедневно добавлять по 5 рублей. Каждый день сумма увеличивается на 5 рублей. За $x$ дней добавится $5x$ рублей. Итоговая сумма $y_1$ будет складываться из начальной суммы и добавленных денег:
$y_1 = 10 + 5x$

Второй способ: ежедневно добавлять по 2 рубля. Каждый день сумма увеличивается на 2 рубля. За $x$ дней добавится $2x$ рублей. Итоговая сумма $y_2$ будет:
$y_2 = 10 + 2x$

Чтобы определить, в каком случае сумма будет увеличиваться быстрее, нужно сравнить скорости увеличения. В линейной функции $y = kx + b$ скорость изменения — это угловой коэффициент $k$.
Для первого случая $k_1 = 5$.
Для второго случая $k_2 = 2$.
Поскольку $5 > 2$, в первом случае сумма будет увеличиваться быстрее.

Построение графиков. Обе функции являются линейными, их графики — прямые. Для построения прямой достаточно двух точек.
Для $y_1 = 10 + 5x$:
При $x=1$, $y_1 = 10 + 5 \cdot 1 = 15$. Точка $(1, 15)$.
При $x=7$, $y_1 = 10 + 5 \cdot 7 = 45$. Точка $(7, 45)$.
Отметим на графике точки для $1 \le x \le 7$: $(1, 15), (2, 20), (3, 25), (4, 30), (5, 35), (6, 40), (7, 45)$.

Для $y_2 = 10 + 2x$:
При $x=1$, $y_2 = 10 + 2 \cdot 1 = 12$. Точка $(1, 12)$.
При $x=7$, $y_2 = 10 + 2 \cdot 7 = 24$. Точка $(7, 24)$.
Отметим на графике точки для $1 \le x \le 7$: $(1, 12), (2, 14), (3, 16), (4, 18), (5, 20), (6, 22), (7, 24)$.

В одной системе координат обе прямые будут выходить из точки $(0, 10)$. Прямая $y_1 = 10 + 5x$ будет идти круче (быстрее возрастать), чем прямая $y_2 = 10 + 2x$.

Ответ: Формула для первого способа: $y = 10 + 5x$. Формула для второго способа: $y = 10 + 2x$. Сумма будет увеличиваться быстрее в первом случае, так как скорость её роста (5 р. в день) больше, чем во втором (2 р. в день).

б)

Пусть $y$ — полученная сумма денег (заработок) в рублях, а $x$ — количество рабочих дней, где $x \ge 1$.

Вариант А: получать 50 р. в день. За $x$ дней Андрей получит $50x$ рублей. Формула зависимости:
$y_A = 50x$

Вариант B: в первый день получить 25 р., а затем ежедневно получать 50 р. Заработок состоит из 25 р. за первый день и по 50 р. за остальные $(x-1)$ дней. Формула зависимости:
$y_B = 25 + 50(x-1)$
Упростим выражение:
$y_B = 25 + 50x - 50 = 50x - 25$

Какой вариант выгоднее? Сравним $y_A = 50x$ и $y_B = 50x - 25$.
При любом количестве дней $x \ge 1$, величина $50x$ всегда будет на 25 больше, чем $50x - 25$. Следовательно, вариант А всегда выгоднее.

Построение графиков. Обе функции линейные.
Для $y_A = 50x$:
Точки для $1 \le x \le 5$: $(1, 50), (2, 100), (3, 150), (4, 200), (5, 250)$.
Для $y_B = 50x - 25$:
Точки для $1 \le x \le 5$: $(1, 25), (2, 75), (3, 125), (4, 175), (5, 225)$.
Графики этих функций — две параллельные прямые, так как у них одинаковый угловой коэффициент $k=50$. Прямая $y_A$ будет всегда выше прямой $y_B$.

Существуют ли значения $x$, при которых значения $y$ равны? Чтобы это выяснить, приравняем выражения для $y_A$ и $y_B$:
$50x = 50x - 25$
$0 = -25$
Полученное равенство неверно, оно не зависит от $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений. Таким образом, не существует такого количества дней $x$, при котором заработок в обоих вариантах был бы одинаковым.

Ответ: Формула для варианта А: $y = 50x$. Формула для варианта B: $y = 50x - 25$. Вариант А выгоднее при любом количестве рабочих дней. Значений $x$, при которых значения $y$ равны, не существует.