Номер 803, страница 261 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 803, страница 261.

Условие.

803 Постройте график функции:

a) $y = \begin{cases} -\frac{1}{2}x, & \text{если } x \le 0 \\ 2x, & \text{если } x > 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} x+1, & \text{если } x \le 0 \\ -x+1, & \text{если } x > 0; \end{cases}$

В) $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \le 1 \\ 2x, & \text{если } x > 1; \end{cases}$

Г) $y = \begin{cases} -x-1, & \text{если } x \le 1 \\ -2, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дана кусочно-линейная функция $y = \begin{cases} \frac{1}{2}x, & \text{если } x \le 0 \\ 2x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$.

График этой функции состоит из двух частей (лучей), которые строятся на разных промежутках оси $x$.

1. Для $x \le 0$ строим график функции $y = \frac{1}{2}x$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения луча достаточно найти две точки.

• При $x = 0$, $y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$. Координаты начальной точки луча $(0, 0)$. Так как неравенство $x \le 0$ нестрогое, эта точка принадлежит графику.
• При $x = -2$, $y = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$. Координаты второй точки $(-2, -1)$.

Таким образом, в левой полуплоскости ($x \le 0$) график представляет собой луч, исходящий из точки $(0, 0)$ и проходящий через точку $(-2, -1)$.

2. Для $x > 0$ строим график функции $y = 2x$. Это также линейная функция.

• Найдём граничную точку, подставив $x=0$: $y = 2 \cdot 0 = 0$. Луч начинается в точке $(0, 0)$. Поскольку неравенство $x > 0$ строгое, сама точка $(0,0)$ не принадлежит этой части графика, но она совпадает с конечной точкой предыдущего луча, поэтому разрыва в функции нет.
• При $x = 1$, $y = 2 \cdot 1 = 2$. Координаты второй точки $(1, 2)$.

Таким образом, в правой полуплоскости ($x > 0$) график представляет собой луч, исходящий из точки $(0, 0)$ и проходящий через точку $(1, 2)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из начала координат $(0, 0)$. Первый луч задаётся уравнением $y = \frac{1}{2}x$ для $x \le 0$, второй — уравнением $y = 2x$ для $x > 0$.

б) Дана кусочно-линейная функция $y = \begin{cases} x+1, & \text{если } x \le 0 \\ -x+1, & \text{если } x > 0 \end{cases}$.

График этой функции состоит из двух лучей.

1. Для $x \le 0$ строим график функции $y = x+1$. Это линейная функция.

• При $x = 0$, $y = 0 + 1 = 1$. Координаты начальной точки луча $(0, 1)$. Точка принадлежит графику.
• При $x = -1$, $y = -1 + 1 = 0$. Координаты второй точки $(-1, 0)$.

Строим луч с началом в точке $(0, 1)$, проходящий через точку $(-1, 0)$.

2. Для $x > 0$ строим график функции $y = -x+1$. Это также линейная функция.

• Граничная точка при $x=0$: $y = -0 + 1 = 1$. Луч начинается в точке $(0, 1)$. Функция непрерывна, так как значение в граничной точке совпадает.
• При $x = 1$, $y = -1 + 1 = 0$. Координаты второй точки $(1, 0)$.

Строим луч с началом в точке $(0, 1)$, проходящий через точку $(1, 0)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0, 1)$. График симметричен относительно оси $Oy$ и представляет собой "перевёрнутую галку" с вершиной в точке $(0, 1)$. Данный график соответствует функции $y=-|x|+1$.

в) Дана кусочно-линейная функция $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \le 1 \\ 2x, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

График функции состоит из двух частей.

1. Для $x \le 1$ строим график функции $y = 2$. Это постоянная функция, её график — горизонтальная прямая.

Так как $x \le 1$, мы строим горизонтальный луч на высоте $y=2$, который идёт из минус бесконечности и заканчивается в точке, где $x=1$. Координаты конечной точки $(1, 2)$. Точка принадлежит графику.

2. Для $x > 1$ строим график функции $y = 2x$. Это линейная функция.

• Граничная точка при $x=1$: $y = 2 \cdot 1 = 2$. Луч начинается в точке $(1, 2)$. Функция непрерывна.
• При $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 = 4$. Координаты второй точки $(2, 4)$.

Строим луч с началом в точке $(1, 2)$, проходящий через точку $(2, 4)$.

Ответ: График состоит из двух лучей, соединённых в точке $(1, 2)$. Для $x \le 1$ это горизонтальный луч $y=2$, а для $x > 1$ — луч $y=2x$, идущий вверх.

г) Дана кусочно-линейная функция $y = \begin{cases} -x-1, & \text{если } x \le 1 \\ -2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

График функции состоит из двух лучей.

1. Для $x \le 1$ строим график функции $y = -x-1$. Это линейная функция.

• При $x = 1$, $y = -1 - 1 = -2$. Координаты конечной точки луча $(1, -2)$. Точка принадлежит графику.
• При $x = 0$, $y = -0 - 1 = -1$. Координаты второй точки $(0, -1)$.

Строим луч, заканчивающийся в точке $(1, -2)$ и проходящий через точку $(0, -1)$.

2. Для $x > 1$ строим график функции $y = -2$. Это постоянная функция, её график — горизонтальная прямая.

Так как $x > 1$, мы строим горизонтальный луч на высоте $y=-2$, который начинается в точке, где $x=1$. Координаты начальной точки $(1, -2)$. Функция непрерывна. Луч уходит вправо в бесконечность.

Ответ: График состоит из двух лучей, соединённых в точке $(1, -2)$. Для $x \le 1$ это луч $y=-x-1$, идущий вниз, а для $x > 1$ — горизонтальный луч $y=-2$.