Номер 809, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 809, страница 263.

Условие.

809 Постройте график функции и опишите её свойства:

a) $y = \begin{cases} 2x + 3, \text{ если } x \ge 0 \\ -x + 1, \text{ если } x \le 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 1 - 3x, \text{ если } x \le 1 \\ x + 2, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Заданная в пункте а) система $y=\begin{cases}2x+3, \text{ если } x \ge 0 \\ -x+1, \text{ если } x \le 0 \end{cases}$ не определяет функцию, так как при $x=0$ значение $y$ становится неоднозначным ($y=3$ и $y=1$). Это нарушает определение функции, согласно которому каждому значению аргумента должно соответствовать единственное значение функции.

Вероятно, в условии допущена опечатка. Будем решать задачу в предположении, что функция имеет вид: $y = \begin{cases} 2x+3, & \text{если } x \ge 0 \\ -x+1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. В этом случае значение при $x=0$ однозначно определено: $y(0)=2(0)+3=3$.

Построение графика:

График данной функции состоит из двух лучей.

1. Для $x \ge 0$ строим график линейной функции $y = 2x+3$. Это луч, начинающийся в точке, где $x=0$.

• При $x=0$, $y = 2(0)+3=3$. Начальная точка луча — $(0,3)$ (точка закрашенная).
• Возьмем еще одну точку, например, $x=1$: $y=2(1)+3=5$. Точка $(1,5)$ принадлежит лучу.

2. Для $x < 0$ строим график линейной функции $y = -x+1$. Это луч, определенный для всех $x$ левее 0.

• Найдем предел функции при $x$, стремящемся к 0 слева: $\lim_{x\to 0^-} (-x+1) = 1$. Таким образом, луч "подходит" к точке $(0,1)$, которая не принадлежит графику (точка выколотая).
• Возьмем точку из этой области, например, $x=-2$: $y=-(-2)+1=3$. Точка $(-2,3)$ принадлежит лучу.

Свойства функции:

• Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Для $x < 0$, значения функции $y=-x+1$ принимают все значения из интервала $(1; +\infty)$. Для $x \ge 0$, значения функции $y=2x+3$ принимают все значения из отрезка $[3; +\infty)$. Объединение этих двух множеств: $(1; +\infty) \cup [3; +\infty) = (1; +\infty)$. Таким образом, $E(y) = (1; +\infty)$.
• Нули функции: Найдем точки пересечения с осью Ox ($y=0$).
  $2x+3=0 \implies x=-1.5$. Это значение не входит в промежуток $x \ge 0$.
  $-x+1=0 \implies x=1$. Это значение не входит в промежуток $x < 0$.
  Следовательно, у функции нет нулей.
• Пересечение с осью Oy: При $x=0$ имеем $y=2(0)+3=3$. Точка пересечения с осью Oy — $(0,3)$.
• Промежутки монотонности: На промежутке $(-\infty; 0)$ функция $y=-x+1$ убывает (коэффициент при $x$ отрицательный). На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y=2x+3$ возрастает (коэффициент при $x$ положительный).
• Экстремумы: Так как функция убывает до $x=0$, а затем возрастает, можно было бы ожидать минимум в точке $x=0$. Однако из-за разрыва функции в этой точке (значения слева от нуля стремятся к 1, а в самой точке $y(0)=3$), точка $x=0$ не является точкой локального минимума. Точек экстремума у функции нет.
• Четность и нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее график не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат. $y(-1) = -(-1)+1=2$, а $y(1)=2(1)+3=5$. Так как $y(-1) \ne y(1)$ и $y(-1) \ne -y(1)$, функция является функцией общего вида.
• Непрерывность: Функция непрерывна на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. В точке $x=0$ она имеет разрыв первого рода (скачок), так как $\lim_{x\to 0^-} y(x) = 1$, а $y(0)=3$.

Ответ: При предположении, что $y=\begin{cases} 2x+3, & x \ge 0 \\ -x+1, & x < 0 \end{cases}$, график состоит из двух лучей с разрывом в точке $x=0$. Свойства функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$; $E(y) = (1; +\infty)$; нулей нет; функция общего вида; убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $[0, +\infty)$; не имеет экстремумов; имеет разрыв первого рода в $x=0$.

---

б)

Дана функция $y = \begin{cases} 1-3x, & \text{если } x \le 1 \\ x+2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

Построение графика:

График данной функции состоит из двух лучей.

1. Для $x \le 1$ строим график линейной функции $y = 1-3x$. Это луч, заканчивающийся в точке, где $x=1$.

• При $x=1$, $y = 1-3(1)=-2$. Конечная точка луча — $(1,-2)$ (точка закрашенная).
• Возьмем еще одну точку, например, $x=0$: $y=1-3(0)=1$. Точка $(0,1)$ принадлежит лучу.

2. Для $x > 1$ строим график линейной функции $y = x+2$. Это луч, начинающийся в точке, где $x=1$.

• Найдем предел функции при $x$, стремящемся к 1 справа: $\lim_{x\to 1^+} (x+2) = 3$. Таким образом, луч начинается из точки $(1,3)$, которая не принадлежит графику (точка выколотая).
• Возьмем точку из этой области, например, $x=2$: $y=2+2=4$. Точка $(2,4)$ принадлежит лучу.

Свойства функции:

• Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Для $x \le 1$, значения функции $y=1-3x$ принимают все значения из отрезка $[-2; +\infty)$. Для $x > 1$, значения функции $y=x+2$ принимают все значения из интервала $(3; +\infty)$. Объединение этих двух множеств: $[-2; +\infty) \cup (3; +\infty) = [-2; +\infty)$. Таким образом, $E(y) = [-2; +\infty)$.
• Нули функции: Найдем точки пересечения с осью Ox ($y=0$).
  $1-3x=0 \implies 3x=1 \implies x=1/3$. Это значение входит в промежуток $x \le 1$.
  $x+2=0 \implies x=-2$. Это значение не входит в промежуток $x > 1$.
  Следовательно, у функции один нуль: $x=1/3$.
• Пересечение с осью Oy: При $x=0$ имеем $y=1-3(0)=1$. Точка пересечения с осью Oy — $(0,1)$.
• Промежутки монотонности: На промежутке $(-\infty; 1]$ функция $y=1-3x$ убывает (коэффициент при $x$ отрицательный). На промежутке $(1; +\infty)$ функция $y=x+2$ возрастает (коэффициент при $x$ положительный).
• Экстремумы: Функция убывает до $x=1$ и возрастает после $x=1$. В точке $x=1$ значение функции $y(1)=-2$. Для всех $x$ в окрестности точки 1 (как слева, так и справа) значения функции больше -2. Таким образом, точка $(1, -2)$ является точкой минимума (как локального, так и глобального). $y_{min} = -2$ при $x=1$.
• Четность и нечетность: Проверим: $y(1)=-2$, $y(-1)=1-3(-1)=4$. Так как $y(-1) \ne y(1)$ и $y(-1) \ne -y(1)$, функция является функцией общего вида.
• Непрерывность: Функция непрерывна на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. В точке $x=1$ она имеет разрыв первого рода (скачок), так как $\lim_{x\to 1^-} y(x) = -2$, а $\lim_{x\to 1^+} y(x) = 3$.

Ответ: График состоит из двух лучей с разрывом в точке $x=1$. Свойства функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$; $E(y) = [-2; +\infty)$; нуль функции $x=1/3$; функция общего вида; убывает на $(-\infty, 1]$ и возрастает на $(1, +\infty)$; точка минимума $(1, -2)$, $y_{min}=-2$; имеет разрыв первого рода в $x=1$.